将牛顿带入量子世界的数学

我在我50多岁，年纪太大，无法成为真正的专家时，我终于爱上了代数几何。顾名思义，这是用代数研究几何。1637年左右，勒内·笛卡尔通过取一个平面，在上面心意地画一个网格，就像我们现在使用的画纸一样，并调用坐标，为这门学科奠定了基础x和Y．我们可以写出这样一个方程x^2.+Y^2.= 1，则有一条由坐标服从该方程的点组成的曲线。在这个例子中，我们得到一个圆!

这是一个当时是一个革命性的想法，因为它让我们系统地将关于几何问题的问题转换为关于方程的问题，如果我们在代数上足够好，我们可以解决。一些数学家在这位雄伟的主题上度过了整个生活。但我从来没有真正喜欢它，直到最近 - 现在已经把它与我对量子物理学的兴趣相连。

如果我们能找出如何将拓扑学简化为代数，它可能会帮助我们形成量子引力理论。

小时候，我更喜欢物理而不是数学。我叔叔阿尔伯特·贝兹，著名民谣歌手琼·贝兹的父亲，为联合国教科文组织工作，帮助发展中国家进行物理教育。我父母住在华盛顿特区。每当我叔叔进城，他都会打开手提箱，拿出磁铁或全息图之类的东西，用它们来解释物理cs对我来说很有趣。当我8岁的时候，他给了我一本他写的大学物理课本。虽然我听不懂，但我马上就知道我通缉到我决定成为一名物理学家，我的父母有点担心，因为他们知道物理学家需要数学，而我似乎并不擅长数学。我发现长除法令人难以忍受地无聊，拒绝做数学作业，因为它没完没了地重复练习。但后来，当我意识到通过摆弄方程式我可以了解宇宙时，我被迷住了。这些神秘的符号看起来像是魔法咒语。在某种程度上，他们是。科学是真正起作用的魔法。

在大学里，我主修数学，并对理论物理学家尤金·维格纳关于数学“不合理的有效性”的问题感到好奇:为什么我们的宇宙如此容易受数学定律支配?正如他所言:“数学语言恰当地表述物理定律的奇迹是一份奇妙的礼物，我们既不理解，也不配得到。”作为一名年轻的乐观主义者，我觉得这些定律将为我们解答一个更深层次的谜题提供线索:为什么宇宙最初是由数学定律支配的。我已经知道要学的数学太多了，所以，在研究生院，我试着专注于对我重要的东西。有一件事起了作用不是对我来说，问题是代数几何。

任何数学家怎么样？不是爱上代数几何?原因如下:在它的经典形式中，这个主题只考虑多项式方程不仅描述曲线，还描述称为“变种”的高维形状，x^2.+Y^2.=1很好，所以是x^43.–2.XY.^2.= Y.^7.，但一个带有正弦、余弦或其他函数的方程是不可能的，除非我们能想出如何把它转换成一个只有多项式的方程。作为一名研究生，这似乎是一个可怕的限制。毕竟，物理问题涉及很多不是多项式的函数。

代数几何形状为什么将自己限制在多项式中？数学家研究了各种功能，但虽然它们非常重要，但在某些级别中，他们的并发症只是几何和代数之间关系的基本奥秘的分心。通过限制他们调查的广度，代数几何可以深入挖掘这些谜团。他们一直这样做是几个世纪，现在他们对多项式的掌握真正令人惊叹：代数几何形状已经成长为数字理论，加密和许多其他科目的强大工具。但是为了它的真实奉献者，它本身就是一端。

我曾经在哈佛达毕业生见过一名毕业生，我问他他在学习什么。他说了一个单词，处于平整的语气：“哈特山脉”。他的意思是罗宾哈特康诺的教科书代数几何发表于1977。据称是对这门学科的介绍，实际上这是一个非常棘手的问题。请考虑维基百科的描述：

第一章标题为“品种”，涉及代数封闭领域品种的经典代数几何形状。本章在换向代数中使用许多古典结果，包括希尔伯特的Nullstellenszz，由Atiyah-Macdonald，Matsumura和Zariski-Samuel的书籍作为常用的参考。

如果你看不懂这个…这正是我想说的。即使要读懂《哈茨霍恩》的第一章，你也需要相当多的背景知识。读哈茨霍恩的书就是要努力赶上几个世纪以来那些拼命奔跑的天才们。

哈茨霍恩的论文导师亚历山大·格罗腾迪克就是这些天才之一。从1960年到1970年，格罗腾迪克彻底改变了代数几何，这是证明韦尔猜想的史诗般的探索的一部分，韦尔猜想是数论中某些问题的解决方法的变体。格罗腾迪克猜测，韦尔猜想可以通过加强和深化几何和代数之间的联系来解决。他对这件事的结果有一个具体的想法。但是要使这个想法精确需要做大量的工作。为了实现这个目标，他发起了一个研讨会。他几乎每天都做演讲，并得到了巴黎一些最优秀的数学家的帮助。

他们不间断地工作了十年，写出了成千上万页的新数学，充满了令人惊叹的概念。最后，格罗腾迪克运用这些思想，成功地证明了所有的韦尔猜想，除了最后一个，也是最具挑战性的一个。令格罗腾迪克大为惊讶的是，他的一个学生把这句话写完了。

在他最富有成效的岁月中，即使他主导了法国代数几何学学院，许多数学家都考虑了Groothendieck的想法“太抽象”。这听起来有点奇怪，鉴于摘要所有数学是。无可争辩的事实是，吸收他的想法需要时间和努力。作为一名研究生，我避开了这些想法，因为我忙于学习物理：在那里，数百年的天才也在全速工作，任何想要达到最前沿的人都有很多事情要做。但是，在我职业生涯的后期，m我的研究让我找到了格罗森迪克的作品。

我采取了不同的道路，我可能会抓住他的工作弦理论．字符串理论家假设除了空间和时间的可见尺寸和空间的可见尺寸之外，其中一个空间之一 - 有额外的空间尺寸卷曲太小，无法看到。在他们的一些理论中，这些额外的尺寸形成了各种各样的尺寸。因此，String理论家很容易被拉入关于代数几何的复杂问题。而这反过来，将它们拉向格罗罗腾。

实际上，弦乐理论的一些最好的广告不是对实验结果的成功预测 - 它绝对没有这些 - 而是它的能力，而是解决纯数学中的问题，包括代数几何形状。例如，字符串理论令人震惊地善于计算您可以在某些品种上绘制的不同种类的曲线。因此，我们现在看到String Thanorists与代数几何交谈，每个人都能够用他们的见解让另一个惊喜。

我对Grothendieck的工作的兴趣有一个不同的来源。我总是对字符串理论严重怀疑，并计算品种的曲线是我曾经尝试的最后一件事：喜欢攀岩，看起来很令人兴奋，但实际上尝试它。事实证明，Groothendieck的想法是普遍性的，并且他们将超越代数几何形状泄漏到许多其他科目之外。特别是他的600页未发表的手稿追求堆栈这本书写于1983年，给我留下了深刻印象。在书中，他论证了这一点拓扑——非常松散地说，关于空间可以形成什么形状的理论，如果我们不关心它的弯曲或拉伸，只关心它有什么样的洞——可以完全归结为代数!

起初，这个想法听起来就像代数几何，我们用代数来描述几何形状，比如曲线或高维变量。但是“代数拓扑学”最终有一个非常不同的风格，因为在拓扑学中，我们不限制我们的形状被多项式方程描述。我们处理的不是美丽的宝石，而是松软、灵活的斑点——所以我们需要的代数是不同的。

代数拓扑是一个美丽的主题，在格罗罗伯克 - 但他是第一个认真提议减少方法之一所有拓扑学与代数。多亏了我在物理学方面的研究，当我看到他的建议时，它是非常令人兴奋的。原因如下：当时我接受了挑战，试图统一我们两个最好的物理理论：量子物理，它描述了除重力以外的所有力，和广义相对论，它描述了重力。看来，除非我们这样做，否则我们对物理学基本定律的理解注定是不完整的。但这是非常困难的。一个原因是量子物理学是建立在代数基础上的，而广义相对论涉及很多拓扑结构。但这暗示了一种攻击的途径：如果我们能找出如何将拓扑简化为代数，它可能会帮助我们形成量子引力理论。

我的物理同事会在这里露出一个HOW，并抱怨我正在过度简化。是的，我过于简化：量子物理学比仅仅是代数，更重要的是拓扑。尽管如此，对代数减少拓扑物理学的可能效益是让我对Groothendieck的工作感到非常兴奋。

所以，从20世纪90年代开始，我试图了解格罗罗伊克已经发明的强大抽象概念 - 现在我已经成功了。一些数学家发现这些概念是代数几何的硬部分。他们现在似乎很容易对我来说。对我来说，难事的部分，不是这些抽象概念，而是没有尼弥气的细节。首先，这些文本中的所有材料都认为Hartshorne作为先决条件：“Atiyah-Macdonald，Matsumura和Zariski-Samuel的书籍 - 在短，堆和成堆的代数。但也有很多。

这些神秘的符号看起来像是魔法咒语。从某种程度上说，它们是。科学是真正起作用的魔法。

所以，我现在有一些关于阅读哈特肖恩需要什么，直到最近，我还被吓得不敢学。一位物理学学生曾经问一位著名的专家，一位物理学家需要知道多少数学知识。专家回答说：“更多。”事实上，学习数学的工作从来没有完成过，所以我把重点放在那些看起来最重要和/或最有趣的事情上。直到去年，代数几何才登上榜首。

改变了什么？我意识到代数几何形状连接到经典物理与量子物理的关系．古典物理学是牛顿的物理学，我们想象我们可以通过完全精确度，至少原则上可以衡量所有的一切。量子物理学是Schrödinger和Heisenberg的物理，受到不确定性原则的管辖：如果我们通过完全精确度测量物理系统的一些方面，其他方面必须保持不确定。

例如，任何旋转的物体都有“角动量”。在经典力学中，我们将其视为指向旋转轴的箭头，其长度与物体旋转的速度成正比。在经典力学中，我们假设我们可以精确地测量这个箭头。在量子力学——对现实的更准确描述——中，事实证明并非如此。例如，如果我们知道这个箭头指向x方向，我们无法知道它指向的方向有多远Y方向。这种不确定性太小，不能对于旋转篮球来说是明显的，但对于电子来说，这是重要的：物理学家直到他们考虑到这一点直到他们对电子进行了艰难的理解。

物理学家经常想“量化”经典物理问题。也就是说，他们从一些物理系统的经典描述开始，他们想找出量子描述。没有完全通用和完全系统的程序来完成这项工作。这并不奇怪：这两种世界观如此不同。但是,是有用的量化方法。最系统的问题只适用于非常有限的物理问题。

例如，在经典物理学中，有时我们可以用一个点来描述一个系统种类．这不是一个通常期望的东西，但它发生在很多重要的情况下。例如，考虑一个旋转对象：如果我们修复其角动量箭头的长度，箭头仍然可以指向任何方向，因此其提示必须位于球体上。因此，我们可以通过球体上的点描述旋转物体。这个领域实际上是一种品种，“黎曼球，以Bernhard Riemann命名，他是19世纪最伟大的代数几何学家之一。

当一个经典物理问题被各种各样的描述时，一些神奇的事情发生了。量子化的过程变得完全系统化，令人惊讶地简单。甚至还有一种相反的过程，我们可以称之为“经典化”这可以让你把量子描述变回经典描述。物理学的经典方法和量子方法紧密联系在一起，人们可以从任何一种方法中汲取想法，看看它们对另一种方法的看法。例如，多样性上的每个点不仅描述了经典系统的状态（在我们的例子中，角动量是一个确定的方向），但同时也是相应量子系统的一种状态，即使后者受海森堡定律的控制测不准原理．量子状态是到经典状态的“最佳量子近似”。更好的是，在这种情况下，许多关于代数几何形状的基本定理可以被视为关于量化的事实。由于量化是我一直在想长时间的东西，这让我很开心。

Richard Feynman曾经说过，为他在一个艰难的物理问题上取得进展，他需要对它有某种特殊角度：

[......]我必须认为我对这个问题有某种内部追踪。也就是说，我有一些人的人才，其他人不使用或某种方式寻找，他们是愚蠢的，不要注意到这种精彩的方式来看待它。出于某种原因，我必须觉得我有比其他家伙更好的机会。我在我的心里知道，原因可能是假的，可能是我带着的特殊态度被别人想到了。我不在乎;我愚弄自己思考我有额外的机会。

这可能是我至今为止在代数几何上所缺少的。当然，代数几何不仅仅是一个需要解决的问题，它是一个知识体系，但它是一个如此庞大、令人生畏的知识体系，直到我找到了一条内线，我才敢解决它。现在我可以读哈特肖恩的书，把一些结果转化为物理事实，我觉得我有机会理解这些东西。这是一种很好的感觉。

John Baez是加州大学的数学教授，Riverside和新加坡Quantum Technologies中心的访问研究员。他关于数学，科学和环境问题的博客方位．跟着他在推特上@johncarlosbaez．

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