为什么你的朋友比你的朋友多

T“为什么你的朋友比你有更多的朋友”这个标题有一个粗鲁的魅力。它很吸引人，就像一个对立的解释者的标题：以下是你平淡无奇的社交生活的原因。这听起来更像是一个故事纽约时报这比一篇学术论文更有价值。但事实上，“为什么你的朋友比你有更多的朋友”是一个问题纸来自斯科特·费尔德，发表在美国社会学杂志。它现在有一些索赔来介绍进入流行文化的所谓“友谊悖论”，研究人员已经习惯了发现传染病暴发的早期发病和设计有效的疫苗接种策略。新研究，发表在复杂网络杂志，暗示悖论比FELD认为它更细致。

悖论源于我们对网络和平均值的不良直觉。如果你猜你有多少朋友，与你的朋友有朋友的数量，你会如何票价？如果你感到适度，你可能会说这是你的朋友比你更多的朋友。但这也是那些有更多朋友的朋友比你更多的朋友还有比他们有更多朋友的朋友，等等。友谊悖论说，这对每个人来说都是正确的，平均而言，每个人都有朋友，朋友比他们有更多的朋友。

我们有一个矛盾的悖论。

这怎么可能？这种悖论超越了友谊。当你有一个对象网络，其中任意两个对象连接或不连接时，它都成立。数学家将对象称为“节点”，连接称为“边”，整个网络称为“图”。如果两个节点通过一条边连接，则它们是“邻居”，一个节点的邻居数称为其“度”。你可以定义一种“网络普及度”通过取节点的度数并减去其相邻节点的平均度数来计算节点的度数。例如，如果我与安妮卡、冰文、卡罗莱纳和达乌德是朋友，安妮卡（包括我）有三个朋友，冰文有五个朋友，卡罗莱纳有七个朋友，达乌德有五个朋友，那么我的网络人气是：

4 – (3+5+7+5)/4 = -1.

这是一个数学事实，如果你平均一个网络中的所有网络人口，那么这个平均数将是负的：你的朋友比你有更多的朋友。你更可能是卡罗莱纳的朋友，而不是安妮卡的朋友，正是因为卡罗莱纳有更多的朋友。如果某人有很多朋友，其中一个更可能是你。费尔德在他的论文中提出，这可能在心理上具有重要意义。当人们想知道自己应该有多少朋友时，他们可能会把朋友的数量作为一个比较点，这几乎总是让他们感到自己不够。A 2017年纸确定了一个“幸福悖论”，并指出这可能与友谊悖论有关也许你的朋友也比你更幸福，因为他们更受欢迎。

但是在一个新的世界里纸来自圣塔菲研究所和密歇根大学的三位研究物理和网络的研究人员表明，友谊悖论的真相并不像看上去的那么悲观。在某些网络中，友谊悖论根本就没有意义。作者乔治·坎特威尔、亚历克·柯克利和马克·纽曼通过将他们的数学结果与30多个现实世界的网络（包括爵士音乐家,合作科学家,吸毒者，及海豚. 因此，如果你曾经像费尔德建议的那样感到沮丧，那么振作起来现实要比标题复杂得多。你可能比一个数字看起来更受欢迎。

统计人长期以来，有不同的方法来计算某些东西的“平均”，具有不同的优缺点。上面描述的方法我加起了所有值并将所有值除以数字 - 在技术上是“均值”。平均值的一个缺点是它对额外值特别敏感。这通常被称为比尔盖茨效应：如果10位中产阶级人员坐在酒吧和比尔盖茨走进下，那么酒吧的平均收入从五到九位跳跃。然而，这次跳跃并没有真正展示酒吧旅客的真实体验。（除了他们吹嘘，他们喝了比尔盖茨的饮料。）

类似地，坎特威尔和他的同事举了1000人的例子，他们彼此都是朋友，只有两个人叫他们阿维托和鲍里斯。那两个人是其他人的朋友，但不是彼此的朋友。这意味着998人每人将有999个朋友，2人每人将有998个朋友。对大多数人来说，网络人气将是：

999 – (999 + 999 + … + 999 + 998 + 998)/999 ≈ .002

但对于Avital和Boris来说，净流行度将是：

998 - （999 + 999 + ... + 999 + 999 + 998）/999≈〜0.999

由于比尔盖茨效应，整个朋友网络的平均普遍性将被Avital和Boris拉负责，尽管该网络中的其他人实际上是比他们的朋友更受欢迎。

随机选择网络的最简单方法是选择一个概率，比如说25%，并给每两个节点25%的时间边，75%的时间没有边。这就是所谓的泊松随机图，法国数学家西蒙·泊松之后。坎特威尔和他的同事们表明，尽管这种图的平均净流行度通常在-1左右，这证实了数学上的友谊悖论，但事实上，大部分节点都有积极的网络人气。当一个节点的平均邻居数量变大时，网络普及率为正的节点比例越来越接近50%。对于这些图表，正如他们所说，“没有意义的‘友谊悖论’适用。”

所以现在我们有一个悖论的悖论;友谊悖论在数学上是真的，但由于比尔盖茨效应，通常没有实际的结果。如果你担心你的受欢迎程度，你该怎么办？放松。尽管Facebook告诉我们，但这是友谊的质量，而不是数量，肯定不是您的平均普及。无论你有什么朋友，享受你的时间。如果你看到比尔盖茨，告诉他给我打电话。

Joshua Holden是Rose Hulman理工学院的数学教授，也是本书的作者秘密的数学：从Caesar Cipers到数字加密的密码学。