彭罗斯瓷砖的不可能炊具和其他胜利

我1974年，英国数学家罗杰·彭罗斯(Roger Penrose)发明了一套革命性的瓦片，可以用一种永不重复的模式覆盖无限平面。1982年，以色列晶体学家丹尼尔·谢赫特曼(Daniel Shechtman)发现了一种金属合金，这种合金的原子结构与材料科学中观察到的任何东西都不同。彭罗斯获得了在数学领域罕见的知名度。谢赫特曼获得了诺贝尔奖。这两位科学家都挑战了人类的直觉，改变了我们对自然设计的基本理解，揭示了在一个高度有序的环境中是如何出现无限变化的。

他们突破的核心是“禁止对称”，之所以这样说是因为它公然挑战了对称和重复之间根深蒂固的联系。对称是以反射轴为基础的——任何出现在直线一侧的东西都会在另一侧被复制。在数学中，这种关系反映在瓦片模式中。对称的形状，如矩形和三角形，可以覆盖一个平面，既不间隙也不重叠，并以一种不断重复的模式。重复的图案被称为“周期性的”，并被称为具有“平移对称”。如果你把一个图案从一个地方移动到另一个地方，它看起来是一样的。

彭罗斯，一个加粗，远大科学家，在相同的模式和重复，并且更在无穷的变化感兴趣以下。准确地说，他感兴趣的“非周期性”平铺，或设置可覆盖既不间隙也不重叠的无限平面的瓷砖，而不平铺图案曾经重演。这是一个挑战，因为他无法对称矩形，三角形，正方形和二，三，四或六轴用砖六边形，因为无限平面它们会导致周期性的或重复的模式。这意味着他不得不依靠形状认为离开在一个平面上，那些禁止对称性的瓷砖缝隙。

彭罗斯转向五轴对称，即五边形，以创造出非重复图案的平面，他说，部分原因是五边形“只是好看”。彭罗斯瓷砖的非凡之处在于，尽管他的瓷砖是由五边形的线条和角度得来的，但他的形状没有留下难看的缝隙。它们完美地依偎在一起，在飞机上旋转和旋转，总是接近重复，但从来没有完全达到。

这是因为如果彭罗斯写小说工作一个新的动物物种，只能有一个动物学家发现，非常的物种生活在地球上。

彭罗斯瓷砖吸引公众的注意主要有两个原因。首先，他找到了一种方法，只使用两种瓦片就可以生成无限变化的图案。第二，甚至更引人注目的是，他的瓷砖简单、对称，本身没有显示出它们不寻常的特性。

彭罗斯制作了几个版本的非周期性瓷砖组合。他最著名的发明之一是“风筝”和“飞镖”。风筝看起来像孩子们的同名玩具，飞镖看起来像隐形轰炸机的简化轮廓。它们都沿着对称轴清晰地分割，并且在它们的表面上都有两条简单对称的弧线。Penrose建立了一个放置规则:对于“合法的”瓷砖放置，这些弧线必须匹配，创造连续的曲线。如果没有这个规则，风筝和飞镖可以以重复的模式放在一起。有了这个规则，重复就不会出现。风筝和飞镖永远围绕着它们的五轴跳舞，创造出星形和十角形，弯曲的曲线，蝴蝶和花朵。形状反复出现，但新的变化不断出现。

埃德蒙哈里斯，阿肯色大学的助理临床教授在数学研究中，是谁写的博士学位。论文对彭罗斯瓷砖，提供了一个比较。“想象一下，你在这只是由正方形的一片天地，”哈里斯说。“你开始走路，当你到了广场边缘，下一个方块是完全一样的，你知道你会看到，如果你永远走什么。”彭罗斯贴砖具有完全相反的性质。“不管你有多少信息有，你有多少看到的平铺的，你永远无法预测接下来会发生什么。这将是东西，你从来没有见过的。”

飞机的非周期性分裂的一个好奇方面是定位的信息以某种方式在较大的距离上沟通 - 放置在一个位置的彭罗斯瓷砖防止了其他碎片的放置数百（和千万）的瓷砖。“某种方式当地的限制征收全球约束，”哈里斯说。“你强调，这些瓷砖不会给你一些定期的东西。”您可以选择放置，例如一个区域中的风筝，或者在远距离位置的飞镖。无论是瓷砖都将工作，但不是两者。

这些瓷砖形成了无限的不重复的图案，表达了斐波那契比率，也被称为“黄金比例”。如果较小的数与较大的数之比等于较大的数与这两个数之和之比，则称这两个数为黄金比例。在这种情况下，风筝的面积与飞镖的面积之比就是黄金比例。风筝的长边与短边之比也是黄金比例。

彭罗斯瓷砖也可以细分为更小版本的自己。风筝包括两个较小的风筝和飞镖的两半。甲镖包括一个较小的风筝和飞镖的两半。（在任何有效彭罗斯平铺，所有这些半飞镖排队彼此。在数学上，这使它们能够作为一个整体对待飞镖）“假设我有彭罗斯拼图的补丁，并且具有一个风筝B飞镖，“哈里斯说。“如果我细分，我要有2个一个+B风筝，和一个+B飞镖。”

如果你做这种替代的无数次，你可以计算出每种类型的瓷砖的整体比例，被他们制定了一个永无止境的平面。在这样的计算中，重复图案总是导致合理的比例。如果该比率是无理数，这意味着图案将永远不会完全重复。不仅彭罗斯瓦片产生无理数，它们的关系是斐波那契数比率的飞镖到风筝比是相同的风筝到瓦片的总数的比率。

考虑到斐波那契数列似乎在自然界中无处不在——从菠萝到兔子的数量——更奇怪的是，这个比例是一个似乎与物理世界无关的瓷砖系统的基础。彭罗斯创造了一种数学上的新奇事物，一种有趣的东西，因为它似乎不像自然界那样运作。这就好像他写了一本关于一种新的动物物种的小说，却让动物学家发现了这个物种就生活在地球上。事实上，彭罗斯瓷砖连接了黄金比例、我们发明的数学和我们周围世界的数学。

P当安罗斯接受被禁止的对称时，他不可能知道他是一种思想转变的一部分，这种转变将导致材料科学的一个新领域。毕竟，对称是纯数学和自然界的基础。天体物理学家马里奥·里维奥(Mario Livio)将对称性描述为“解读自然设计的最重要工具之一”。大自然使用正方形和六边形的原因与人类设计师相同:它们简单、高效、有序。如果说五边形在室内设计中对于像地砖图案这样简单的东西来说是不切实际的，那么在晶体等固体材料中原子的形成也被认为是不可能的。

晶体是由原子的三维晶格构成的。晶体通过增加更多的原子和扩展晶格而生长。当原子以重复的模式排列时，这种反应最有效。几十年来，故事就这样结束了:晶体是重复结构。最后。

1982年，谢赫特曼从海法理工大学(Haifa’s Technion University)毕业，在国家标准局休假。他在实验室里摆弄一种铝锰合金。他的晶体结构所产生的衍射图案似乎并没有反映出晶体学家所知的任何标准对称。事实上，原子的排列方式就像彭罗斯在数学世界中释放出来的五边形、菱形、风筝和飞镖一样。

“当然，我对彭罗斯瓷砖很熟悉，”谢赫特曼说。但他没有理由怀疑它们与他的合金有关。“我不知道那是什么。在接下来的几个月里，我一遍又一遍地重复我的实验。在我的休假结束时，我清楚地知道它不是什么，但我仍然不知道它是什么。”

要了解他所发现的内容，车削不得不蔑视与PenRose相同的直觉和传统智慧。他不得不拥抱禁止对称性，并凭借其五角形混乱和不重复。回到以色列，他来到不愿意的结论，他发现了一种不重复的晶体原子结构。虽然他和材料中的任何人都没有，但是，乍一看，乍一看是一个忍受他的发现一个水晶。他们称他们为“拟Crystals”。

准晶体具有低摩擦和磨损，这使它们成为剃须刀和手术器械的理想涂层。

彭罗斯那富于幻想的数学理论仿佛是强行进入了自然界。“80年来，晶体被定义为‘有序和周期的’，因为从1912年开始研究的所有晶体都是周期的，”谢赫特曼说。“直到1992年，国际晶体学联合会才成立了一个委员会来重新定义‘晶体’。’这个新定义是晶体学的一个范式转变。”

这是更重要的是使得它很难理解和吸收Shechtman的发现仅仅是心理惯性。非周期性晶体结构不只是陌生的;他们被认为是不自然的。请记住，一个彭罗斯瓷砖的位置会影响瓷砖的事情千里之外，局部约束创建全局约束。但是，如果一个晶型原子一个原子，不应该有自然法将允许那种固有的彭罗斯瓷砖限制。

事实证明，晶体并不总是逐个原子形成的。“在非常复杂的金属间化合物中，单位是巨大的。它不是本地的，”谢赫特曼说。当大块晶体同时形成时，而不是通过逐渐的原子吸积，相距很远的原子可以影响彼此的位置，就像彭罗斯瓦片一样。

与许多禁忌一样，被禁止的对称最终作为一种有效的自然存在形式获得了认可。准晶体不仅成为一个新的学术研究领域的主题，而且由于其不同寻常的结构，它们被证明具有许多有用的性质。例如，它们不规则的原子结构使它们的表面能很低，这意味着没有多少物质附着在它们身上。因此，准晶体涂层已经在不粘锅中找到了出路。(彭罗斯创作他的新奇瓷砖时，没有理由认为它会与晶体学有关，更不用说煎鸡蛋了。)准晶体也倾向于具有低摩擦和磨损，这使它们成为剃须刀、外科器械或任何接触人体的尖锐工具的理想涂层。

因为准晶体的结构不会重复，它们会在电磁辐射中产生独特的衍射图案。光子学研究人员对它们如何影响光的传输、反射率和光致发光感兴趣。过冷它们，它们的电阻就会飙升到近乎无限的水平。但它们也吸收红外辐射，变得非常热，非常快。这使得它们成为3D打印机非常有价值的添加剂，3D打印机通常使用塑料粉末作为源材料。谢克特曼解释说，当一种准周期粉末混合在一起，在红外光的照射下，准周期粉末“极快地升温，融化周围的塑料颗粒，它们粘在一起。”

没有人知道禁止对称的故事将如何结束。数学家们继续探索彭罗斯瓷片的性质。准晶体仍然是基础研究和应用研究的主题。但到目前为止，这是一段不可思议的旅程。在过去的40年里，五轴对称从不切实际到有价值，从不自然到完美自然，从禁忌到主流。这是一种转变，我们要感谢两位科学家，他们推动了过去的传统智慧，发现了自然界中无限变化的一种非凡的新形式。

Patchen Barss是多伦多的记者和作家。他目前正在写一本关于纯数学和自然世界之间关系的书。

主导图像由两幅图像构建而成，这两幅图像最初是在AMES实验室/维基共享和parly Taxel/维基共享上发现的。

本文最初发表于2014年5月的“对称性”问题。