我想象一下把一个时钟的时针从3点拨回到中午。数学家们早就知道如何将这种旋转描述为一个简单的乘法:一个代表时针在平面上初始位置的数字乘以另一个常数。但是，在描述空间中的旋转时，类似的技巧是否可行呢?常识是肯定的，但19世纪最多产的数学家之一威廉·汉密尔顿(William Hamilton)花了十多年的时间，才找到描述三维旋转的数学方法。这个不太可能的解决方案让他找到了四种数字系统中的第三种，这些数字系统与标准算术非常相似，并推动了现代代数的兴起。
实数构成了第一个这样的数字系统。一个数字序列，可以从最小到最大排序，实数包括我们在学校学到的所有熟悉的字符，如-3.7，√‾5和42。文艺复兴时期的代数家们偶然发现了第二种可以加、减、乘、除的数字系统，当他们意识到解某些方程需要一个新的数字时，我，它不符合实数轴上的任何位置。他们迈出了第一步，进入了“复杂平面”，在这个平面上，“虚数”和“实数”的组合令人误解，就像《战舰》游戏中大写字母和数字的组合一样。在这个平面世界中，“复数”代表的是箭头，你可以用加法和减法来滑动，或者用乘法和除法来旋转和拉伸。
哈密尔顿是爱尔兰数学家，与经典力学和量子力学中的“哈密尔顿”算符同名，他希望通过增加一个假想数来爬出复平面j轴。这就像Milton Bradley用一列小写字母把“Battleship”变成了“Battlesubmarine”。但在三维空间中有一些东西破坏了汉密尔顿所能想到的所有系统。“他肯定尝试了数百万种方法，但没有一种有效，”他说约翰·贝兹加利福尼亚大学的数学家，河滨。问题是乘法。在复平面中，乘法产生旋转。无论汉密尔顿如何试图在三维空间中定义乘法，他都找不到一个总是返回有意义答案的相反除法。
要想知道是什么让三维旋转变得如此困难，可以将转动方向盘和旋转地球仪进行比较。轮子上的所有点以相同的方式一起移动，因此它们被乘以相同的（复数）数。但是地球上的点在赤道周围移动得最快，而当你向北或向南移动时，移动得更慢。至关重要的是，两极根本不会改变。贝兹解释说，如果三维旋转像二维旋转一样工作，那么每个点都会移动。
1843年10月16日，汉密尔顿在都柏林的扫帚桥上刻下了一个著名的解决方案，那就是把地球仪插入一个更大的空间，让它的旋转更像是在二维空间中进行的。不是两个而是三个假想轴，我，j和k，加上实数轴一个，汉密尔顿可以定义类似于四维空间中箭头的新数字。他把它们命名为“四元数”黄昏时分汉密尔顿已经为旋转的3-D箭头勾勒出了一个方案:他表示，这些可以被认为是由设置产生的简化的四元数一个，实部，等于零，只保留虚部我，j和k——汉密尔顿发明了“矢量”这个词。旋转一个3-D矢量意味着将它乘以一对完整的4-D四元数，其中包含关于旋转方向和程度的信息。要看四元数乘法的实际操作，请看下面由流行数学动画师最新发布的视频3Blue1Brown．
你能用实数和复数做的一切，你能用四元数做的一切，除了一个明显的差异。而2 × 3和3 × 2都等于6，四元数乘法的顺序很重要。数学家以前从未在数字中遇到过这种行为，尽管它反映了日常物体的旋转方式。例如，把你的手机面朝上放在一个平面上。向左旋转90度，然后把它从你身边翻转过来。注意相机指向的方向。回到原来的位置，先把它从你身边翻转过来，然后再转到左边。看到摄像机是怎么指向右边的了吗?这个最初令人担忧的性质，被称为不可交换性，结果证明是四元数与现实共享的一个特征。
但在新的数字系统中也潜伏着一个漏洞。手机或箭头可以360度旋转，而描述360度旋转的四元数在四维空间中只能向上旋转180度。你需要将手机或箭头旋转两次才能将相关的四元数恢复到初始状态。(在一个回合后停止，会使四元数颠倒，因为虚数的平方是-1。)为了直观地了解它是如何工作的，看看上面的旋转立方体。一个回合把一个扭曲在附加的皮带，而第二个平滑他们再次。四元数的行为有些类似。
倒转的箭头会产生假的负号，会对物理学造成严重破坏，所以在汉密尔顿大桥破坏事件发生近40年后，物理学家们开战为了防止四元数系统成为标准，我们必须彼此合作。当耶鲁大学教授约西亚·吉布斯（Josiah Gibbs）定义了现代向量时，敌对情绪爆发了。决定第四维度完全是太麻烦了，吉布斯通过砍掉一个术语:吉布斯的四元数衍生保留了我，j，k但将四元数相乘的笨拙规则分解为向量相乘的单独运算，这是如今每个数学和物理本科学生都学过的:点积和叉积。汉密尔顿的信徒们把这个新系统称为“怪物”，而向量迷们则把四元数贬为“怪物”。无理取闹" and an "纯粹的邪恶这场争论在杂志和小册子的页面上持续了多年，但易用性最终带来了胜利。
四元数会在向量的阴影下慢慢消失，直到20世纪20年代量子力学揭示了它们的真实身份。虽然正常的360度足以使光子和其他力粒子完全旋转，但电子和所有其他物质粒子需要旋转两圈才能回到初始状态。汉密尔顿的数字系统一直在描述这些尚未被发现的实体，现在被称为“旋转体”。
然而，物理学家从未在日常计算中采用四元数，因为他们发现了一种基于矩阵的处理旋量的替代方案。直到最近几十年四元数才经历了一次复兴。除了在计算机图形学中被采用，作为计算旋转的有效工具，四元数还存在于高维曲面的几何中。特别有一个曲面，叫做hyperkähler流形，它有一个有趣的特性，它允许你在一组向量和一组旋量之间来回转换——把向量代数之争的双方联合起来。由于矢量描述的是力粒子，而旋量描述的是物质粒子，所以这个性质是极端的兴趣对于那些想知道在自然界中是否存在物质和力之间的对称，即超对称的物理学家来说。(然而，如果是这样，对称就会非常严重破碎的在我们的宇宙中。）
同时，对于数学家来说，四元数从未真正失去光芒。贝兹说：“汉密尔顿一发明四元数，每个人和他的兄弟就决定组成自己的数字系统。”。“大多数都是毫无用处的，但最终……它们导致了我们现在所认为的现代代数。”今天，抽象代数学家研究了大量的数系，这些数系具有各种各样的奇异性质。
汉密尔顿的朋友约翰·格雷夫斯(John Graves)在四元数之后不久发现了第四种、也是最后一种允许乘法模拟和相关除法的数字系统。一些物理学家怀疑这些奇特的八维“八元”可能玩在基础物理学中扮演重要角色。
“我认为基于四元数的几何学还有很多东西有待发现，”他说奈杰尔·哈特金他是牛津大学(University of Oxford)的几何学家，“但如果你想要一个新的边界，那就是八元数。”
查理·伍德（Charlie Wood）是一名报道地球内外物理科学发展的记者。他的作品发表在杂志上科学美国人，基督教科学箴言报和《生活科学》，以及其他出版物。此前，他曾在莫桑比克和日本教授物理和英语，并获得布朗大学物理学学士学位。
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