Remember多米诺理论？一个走向共产主义的国家应该推翻下一个，然后下一个，再下一个。隐喻在20世纪中叶推动了美国外交政策的大部分。但它的名字是错误的。从物理的角度来看，它应该被称为“SandPile理论”。
现实世界的政治阶段过渡往往不是井然有序地发生，而是突然协调一致地发生，比如阿拉伯之春(Arab Spring)或东方集团(Eastern Bloc)的崩溃。这反映了被危机打断的平静时期——就像沙堆一样。你可以在沙堆的顶部增加一段时间的沙粒，但没有明显的效果。然后，突然，一场雪崩以不规则的方式把沙子从顶部扫下来，可能在它的过程中引发了小的次雪崩。
这个类比不一定能让我们有所收获。毕竟，真正的沙子很难分析，就像真正的政治一样。但奇迹出现了。一种对沙堆的抽象，称为“阿贝尔沙堆模型”，由物理学家Per Bak, Chao Tang和Kurt Wiesenfeld在1987年创造的，似乎捕捉到了真正的沙堆的一些丰富的、混乱的特征，更不用说其他来自生物学、物理学和社会科学的复杂系统，同时保持了足够简单的数学研究。1
我这是这样的。想象一下一根圆点的无限栅格，在每个点上，一堆砂。我们可以通过在那里写一个数字来跟踪每个点上有多少颗沙子。
但垂直堆积的沙粒只能达到这么高。假设，当4个或更多沙粒在同一个点上时，4个沙粒会倒塌，每个罗盘方向各有一个。所以如果你从这个开始:
左涂层的桩，给你：
之后右边的那堆也超载了，掉了4粒到它的邻居身上:
此时沙堆是稳定的;任何位置的颗粒都不超过4个，整个过程就会停止。
我是如何知道哪个堆到首先倒下的？好消息：没关系。随着最终配置的对称性建议，Abelian Sandpile的最终状态不依赖于您进行倒置的顺序。这就是让它“abelian”的原因是“做到这一点，那是这样的，那就是这样做的，那就是这样。”添加是abelian：添加2，然后添加3与添加3相同，然后添加2.大多数操作不是abelian。解锁汽车并拉动门把手，门打开;首先拉动门然后解锁汽车，你得到了一个不同的结果：封闭的门，解锁车。所以沙子的亚太本质是一个令人愉快的惊喜。
如果你堆积了很多沙子，那么百万谷物 - 在一个点上会发生什么，让砂流直到倒塌到稳定？你可能会想象你最终有一个大的光滑堆沙子，附近的大面积靠近小点的中心，最大三大的沙粒。
你想象错了。这是你得到的：
那么，也许一百万是不够安定的东西，如果你从十亿开始，那就怎么了？你得到这个：
希望平滑不会发生。相反，这些疯狂的分形模式持续存在。靠近中心，一个复杂的图案，就像一个圆顶内侧镶嵌着格子的内部，以某种方式看起来几何和随机随机;靠近堆边的边缘，三角岛的行为更加一致，以常规模式互锁。
这就是你能得到的结构看。这些图像由Carnegie Mellon的数学教授产生了Wes Pegden，其与Lionel Levine和Charlie Smart（不是一个破碎数学假名，他的真名！）的康奈尔在SandPile研究的领先地位。2Pegden有十亿粒沙堆的互动图片在他的网站上。在那里，你可以放大并徘徊到你的心灵的内容。您可以直接用于桩中心的对称可爱：
或者专注于外轮辋的尖刺怪异：
也有更精细的本地结构。每个数学文章都应该有一个家庭作业，这里是今天的：检查室内沙片中的两个相邻点可以立即空吗？（参见解决方案答案)。事实上，我所做的实验表明，更有力的结论可能是正确的:空点不仅不能彼此相邻，它们甚至可能不会出现附近彼此，像带相同电荷的粒子一样相互排斥。
B因此，你出去用显微镜看沙丘，我应该警告你真正的沙子，没有产生这种自发结构。3.阿贝尔沙堆模型甚至没有试图捕捉实际物理材料的行为。相反，它的所有复杂性都来自于一个抽象，一个简单的确定性算法，您可以用五行代码来描述。这让人想起约翰·康威(John Conway)的《生活的游戏》(Game of Life)，后者也从一个非常简单的规则集产生了丰富的复杂性。阿贝尔沙堆，就像生命游戏一样，是一个细胞自动机:也就是说，一个小宇宙，它的条件可以用计算机能接受的那种离散语言来完全描述。在沙堆中，网格上的每个点得到一个介于0和4之间的数字，而一组简单的规则设置相邻点的值。在《Game of Life》中，状态甚至更简单:每个点要么是“活着”，要么是“死去”，要么是1或0。
但有一个差异。生命游戏可以哄骗复杂的行为，但它往往会采取一点工作。4在这方面，它在细胞自动机中是典型的。另一方面，沙堆似乎在引导自己自动地复杂的行为，没有任何特别的努力去建立正确的初始条件。
它通过寻找一个所谓的临界阈值来做到这一点，在临界阈值附近往往会发现复杂的行为。你对自然阈值的概念很熟悉。水在高温下是无序的液体;当温度超过某一临界值时，水发生急剧转变，结晶成冰。对于沙堆来说，与温度类似的是密度:每个点有多少沙子?沙子太多，堆起来就不稳定了，基本上就是一场长时间的雪崩。太少的话，沙子很快就会稳定下来。多少才算太多?答案出乎意料地简单:平均每个点恰好有2.125个颗粒是临界阈值，这是安静和混乱之间的分界线。
值得注意的是，在有限的桌子上的沙堆——任何到达边缘的沙都会从边缘掉落并消失——会调整到每个点2.125粒。假设桌子一开始是空的，你把沙子一粒一粒地放在桌子中央。有一段时间，沙子的图案扩大了，看起来很像佩格登上面的画(描绘了一个无限的表)。你掉一粒，沙子就会沉淀，桌子上又多了一粒。但一旦沙子到达边缘，故事就变了。沙堆接近平衡状态，沙从边缘落下的速度与向中心添加沙的速度相同，密度稳定在临界值。当然，可能会有局部波动，随着系统的发展，密度更大或更小的斑块会来来去去;但在整个表格中，每个点的颗粒数将徘徊在2.125左右。
如果你从一个有限的桌子开始用沙子的有限桌子开始，每个地方都有三粒？该配置稳定。但只有在一个非常脆弱的意义上。滴一粒谷物，在桌子上的任何地方，大量的雪崩开始，不会停止，直到密度再次下降到2.125。
当表格达到阈值密度时会发生什么?然后沙堆就会处于最有趣的状态。雪崩不断发生，但它们不会造成一种持续的宇宙翻滚状态;相反，它们以海浪的形式出现，频繁发生小规模的雪崩，不时发生罕见的横跨桌面的灾难。雪崩在阈值密度下的分布似乎服从幂律:雪崩的频率与它们的大小成反比。有持续的活动，但这种活动是有组织的，有组织的。更重要的是，沙堆并不需要为了展示其复杂的行为而进行微调;它自动调谐。这就是所谓的“自组织临界性”现象。无论系统从哪里开始，它都会找到临界阈值，并保持在那里，只要新砂以恒定的速度不断添加。
图片不够：你必须看到这发生的事情。. Dimeoof the National Institute of Standards and Technology made a series of hypnotic movies of the sandpile at its critical state.
在我看来，这是一个活生生的过程。这并非巧合。自组织临界性的概念是一种流行的方式，用来思考丰富的生命结构是如何从自动寻找临界阈值的简单系统中产生的。一些生物学家将自组织临界性视为复杂生物行为的潜在统一理论，它控制着一群鸟同步移动的方式，就像遗传信息控制着单个鸟的发展一样。5“生活系统”写生了生物理论家斯图尔特考芬福，“在混乱边缘附近的坚实制度存在，自然选择达到并维持这种倾向的状态。”和桑迪一样。当然，这不是真的。但它是活泼的，不是吗？
T凭借首先，他散打了，是自我组织临界的最习惯的例子;但是还有许多其他人（其中一些被描绘在Pegden的画廊中的其他地方）。我们真的不知道粉体的规则使系统不可避免地朝着其复杂的，临界状态发展，并且我们没有明确了解哪些细胞自动机可能表现出自组织的关键性。
洞察力可能来自Sandpile的令人惊讶的连接与数学的其他部分。对于像我一样的几幅度，SandPile与热带几何形状的新兴领域有关，旨在通过类似的离散物模拟连续几何现象。对于概率主义者来说，Sandpile与称为生成树的东西密切相关，其中（在方形网格上）是一个分支路径，它触摸电网上的每个点，但也不形成闭合电路。无论洞察力来自哪里，Sandpile都提醒我们数学中真正有趣的现象，就像物理学中真正有趣的现象一样，经常发生在阶段过渡。在那里，我们在两种不同的数学区域之间进行了大学，共享两者的特征，通过边界的信息。和问题也是如此。总是比答案更多的问题。
Jordan Ellenberg是威斯康星大学 - 麦迪逊大学的约翰D. MacArthur教授和作者纽约时报最畅销怎么不错(2014)和形状（2021）.
参考文献
1. Bak，P.，Tang，C.，＆Wiesenfeld，K.自组织关键性：1 /的解释f噪音。物理评论快报59., 381 - 384(1987)。
2. Levine，L.，Pegden，W.，＆Smart，C.K.阿比海砂垫的阿波隆结构。预印arxiv.:1208.4839（2014）。
3. Mehta，A.＆Barker，G.C.砂浆中的紊乱，记忆和雪崩。Europhysics字母27.，501-506（1994）。
4.第一个复制生物在生命模拟器中诞生。新科学家27656 - 7(2010)。
5. Mora，T.＆Bialek，W.是临界的生物系统吗？统计物理学报144., 268 - 302(2011)。
本文首次发表于2015年4月的《多米诺骨牌》专刊。
