M.2009年秋天，伊根·艾尔斯和她当时的男友内森·索查陷入了进退两难的境地。他们在波士顿的牙买加平原(Jamaica Plain)社区找到了一套完美的小公寓待售:一楼，距离最近的“T”火车站只有一英里(约合1.6公里)，靠近波士顿的“翡翠项链”(Emerald Necklace)，这是一条七英里长的公园和自行车道。联邦政府的激励措施、低廉的房价和高昂的租金，使得买房成了一个异常诱人的提议，这对夫妇急于抢购这套共管公寓。
但是，随着夫妻的父母轻轻地指出，艾尔斯和索契尚未结婚，甚至没有结婚。如果他们的关系是酸的，他们就没有与Hombuyers结婚的保护。作为“共同的租户”，其中一个人可以合法地租用或甚至将他或她的公寓分享到一个完全陌生人。如果发生分手，艾尔斯和索契想知道，他们如何避免在他们共同拥有的公寓内冲突？
许多家庭都面临着艾尔斯和索查的窘境——如何公平分配梦寐以求的财产。有些人实现了令人满意的分裂，甚至在这个过程中得到加强;其他的则四分五裂。尽管有这些高风险，但家庭分配资产的方法往往非常特别。
艾尔斯和索查做了不同的事情:他们转向了数学。
P.也许书本上最古老的公平分割方法——自古以来就被孩子们使用——是“我切，你选”的方法，在两个人之间分割一块蛋糕。一个人把蛋糕切成两块，另一个人可以选择拿哪一块。亚伯拉罕和罗得就是这样分地居住的:亚伯拉罕分地，罗得选择约旦河，把迦南留给亚伯拉罕。
“我割，你选”有一个非常吸引人的特点:它没有嫉妒，这意味着参与者都不愿意用自己的股份换另一份。切蛋糕的人，或者切土地的人，或者切其他可分割物品的人，从她的角度来看，有动机使两份股份尽可能平等，因为她不知道她最终会得到哪一份。如果她的切割工作做得很好，她会满足于任何一块。另一个参与者可以选择她最喜欢的棋子，所以两个人都不愿意交易。
但是，当分配的好东西不是同质的——当蛋糕上有各种不同的糖霜，或者土地上有肥沃的山谷、富含矿物质的山脉和干旱的沙漠——“我切，你选”的方法在其他公平和可取的重要衡量标准上就显得不够。
在一些除法问题中，数学家已经证明不存在理想的分裂。
在这些情况下，选择器比刀具有明显的优势。为了安全起见，切蛋糕的人必须把蛋糕分成两块，两块对他来说价值相等。但选择器可能与刀具有很大不同的偏好。也许从选择者的角度来看，其中一块价值60%，另一块价值40%。如果是这样，他会很高兴地拿走比他认为的一半多很多的蛋糕。在数学语言中，“我切，你选”的方法是不公平的。
这种方法不仅不公平，还可能无法给每个人最有用的份额。例如，假设约翰和简正在分享一块一半香草一半巧克力的蛋糕。约翰最喜欢香草，而简最喜欢巧克力。理想的分割显然是约翰拿一半香草，简拿一半巧克力。但如果约翰是切割者，除非他知道简的喜好，否则理想的分割对他来说风险太大:他可能会失去整个香草的那一半。所以他会把蛋糕分成两份，每一种味道的分量相等。这种划分并不“有效”:还有其他一些划分可以提高部分或所有参与者的份额，而不会让任何人变得更糟。
数学家已经证明，当两个人分开蛋糕时，总有一些师是同时嫉妒，公平和高效的（为了实现为什么这是真的，看侧栏：蛋糕是公平的游戏）。但是没有简单的算法来识别这种理想的分裂。而且，在一些其他分裂的问题中，数学家表明，甚至没有理想的分裂。在其僵硬的情况下，在过去的20年里，数学家已经制定了一个严格的框架，用于探索不同类型的部门所需的权衡，帮助将清晰度从离婚，死亡和剥离中汲取清晰度。
O.埃尔斯和索查采用的一种直接的方法被称为“猎枪条款”，类似于商业合同中常见的“我割，你选”。该条款规定，例如，如果一家企业的两名所有者想要分道扬镳，其中一人将提出收购价格，另一人将选择以该价格收购或被收购。就像“我切割，你选择”，这种方法没有嫉妒，但不公平:选择者比提议者更好。公平结果公司(Fair Outcomes)的律师兼首席执行长詹姆斯•林(James Ring)说，结果是，关于谁该提议、谁该选择的争论有时会导致多年的诉讼。
相反，Ayers和Socha承诺，在分拆的情况下，他们将使用一种相对较新的算法“公平买入-卖出”(Fair buy - sell)，来决定谁将以何种价格买下对方的股份。2007年，林和纽约大学政治学教授史蒂文·布拉姆斯(Steven Brams)共同提出了公平买卖协议(Fair Buy-Sell)，要求双方同时提出一个收购价格。如果约翰出价11万美元，简出价10万美元，那么出价更高的约翰将以10万5千美元买下简。与霰弹枪条款不同的是，这种方法是公平的:每个参与者最终都得到了某样东西——要么是钱，要么是生意——价格高于他或她的出价。“两个参与者总是能得到一个比他们提出的更好的解决方案，”Ring说。生意总是流向更看重它的合伙人。
这个算法加入了一长串其他算法，比如调整后的赢家和平衡交替。然而，与公平分配的处方一样重要的是，理解什么时候完全公平是不可能的，或者是以牺牲社会福利为代价的(社会福利衡量的是哪些物品会流向最看重它们的人)。在2013年1月的美国数学月刊，荆棘与格拉茨大学的基督徒柯勒尔·蒙特克莱尔州立大学的迈克尔·琼斯 - 表明，当三人分开蛋糕时，有时不可能找到一个同时嫉妒，公平和高效的师。同样，当三个人必须分开一个不可分割的项目时，有时需要在无嫉妒的解决方案和一个有效的解决方案之间进行选择（对于这种情况发生这种情况，请参阅侧栏：嫉妒与效率）。
布拉姆斯说:“数学限制了可以实现的目标。“那么问题是，如果你不能得到一切，你想放弃哪些财产?”
也许我会说我会花10万美元买下你的全部股份，但如果你想买下我的全部股份，你必须付给我20万美元。这是人的本性。
在这方面，也出现了一些服务来提供帮助。一项新的免费在线服务splidit将允许用户自行决定在多大程度上放松公平的观念。它的除法算法要求参与者选择一个特定的公平标准——要么是不嫉妒，要么是两个较弱的标准之一。然后，该算法在选择的公平水平上寻找能产生最高社会福利的部门，在这种情况下，社会福利是由所有参与者的奖金价值之和来衡量的。参与者设定的公平约束越高，社会福利可能越低，反之亦然。
splidit算法的内部工作不像Fair Buy-Sell算法那样透明。不过，匹兹堡卡内基梅隆大学(Carnegie Mellon University)的计算机科学家阿里尔·普罗卡西亚(Ariel Procaccia)认为，即使是有数学恐惧症的人也能使用这个网站:算法生成的划分应该会为自己说话，他说。
他说:“人们应该能够看到一个提议，并看到它是有意义的——他们喜欢自己的份额，不想与任何人交换。”
有时候，我们需要在最公平和最有社会价值的物品分类中做出选择。例如，假设约翰、简和莎莉正在分配他们祖母的家具和财产，他们每个人按照自己的喜好列出物品:
只有一种方法来划分这些东西，保证不会让人嫉妒:
约翰:沙发和电视简:双人沙发和相簿莎莉:古董书架和钢琴
在这种划分方式下，每个人都比其他人更喜欢自己的份额。
但这个司并不高效。如果他们交易电视和Loveseat，John和Jane都会更快乐，生产该司：
约翰:沙发和双人沙发简:电视和相簿莎莉:古董书架和钢琴
这个新的师是有效的 - 没有办法进一步改进，而不会让至少一个人更糟糕。约翰和简和简的交易似乎无害，因为它不会让莎莉的分享更糟糕。但它可能会让莎莉羡慕：沙发和爱情在她的偏好清单上很高，如果她认为他们制作了一个伟大的一对，她可能会在自己的书柜和钢琴上享受约翰的分享。
没有哪个部门是既不让人嫉妒又高效的。哪种划分对约翰、简和莎莉最有意义取决于他们特定的关系和价值观。
W.虽然公平除法算法已经取得了长足的进步，但它们在现实世界的使用可能很复杂。首先，人类对公平的看法同样令人信服，但相互排斥。例如，当兄弟姐妹在分割父母的遗产时，每个兄弟姐妹应该得到相同的份额，还是在父亲最后一次生病期间照顾他的兄弟姐妹应该得到更多?公平分割算法不能对一个家庭做出这样的决定。
加州大学欧文分校(University of California, Irvine)的社会心理学家彼得·迪托(Peter Ditto)说:“根据算法的表现，它可能会冒犯任何一方的道德情感。”“很难满足我们所有关于公平和正义的直觉，因为它们往往相互冲突。”迪托说，我们的满足感更加复杂，因为进化已经把我们磨练成不公的探测器，所以“我们经常觉得自己被搞砸了，即使我们并没有。”考虑到解决方案的复杂情绪反应，我们与除法算法的关系显然并不总是简单的。
与此同时，数学算法的不偏不倚性质可以帮助人们梳理出自己的潜意识动机，驯服自己对不公平的高度敏感的雷达。这就是公平买卖交易(Fair buy - sell)被用来解决一场持续多年的丑陋争斗时发生的事情。这场争斗发生在继承了一个家族企业帝国的兄弟姐妹之间，他们无法就谁将收购谁达成一致。
“双方都声称对方提供的太少，”林说。“这就是人们在冲突中相互不信任时的表现——也许我会说，我会花10万美元买下你的全部股份，但如果你想买下我的全部股份，你必须付给我20万美元。”这是人的本性。”
当他的一个兄弟的律师要求他使用Fair Buy-Sell算法时，选择一个价格插入系统的过程让他顿悟:他实际上并不想要这笔生意。他意识到，他之前的不妥协态度，是企图以他的兄弟姐妹为代价，不公平地获利。公平分割算法提供了“一个非常强大和积极的东西，”林说。"为了得到我想要的，我不需要对你撒谎，虐待你也不需要假装关心一件事很多年"
像Fair Outcomes和splidit这样的Division服务提供了一个数学视角，用户可以通过这个视角查看自己的动机。他们会选择强调自由嫉妒还是社会福利?如果他们连一个没有嫉妒的分裂都觉得不可接受，他们是出于报复心理吗?正如安大略省滑铁卢威尔弗里德·劳里埃大学(Wilfrid Laurier University)数学教授兼主席马克·基尔古尔(Marc Kilgour)所说，公平分配的数学方法“为存在已久的各种行为提供了一种光明”。
至于Ayers和Socha，他们最终并没有调用Fair Buy-Sell算法。后来，梅根·艾尔斯(Maegan Ayers)改名为梅根·索查(Maegan Socha)，这对夫妇最终卖掉了他们的公寓，搬到了罗德岛(Rhode Island)，他们的第一个孩子将在7月份出生。回顾过去，梅根认为他们的公寓购买和公平合同是这对年轻夫妇步入成年的过程。她回忆说:“当时我认为，成熟的一部分就是足够大，可以做出这样的决定，我很高兴我们处理这件事的方式。”“这是对彼此的信任和信心的标志，我们知道，如果事情没有成功，我们不会对彼此不公平或伤害。我们会保留一些东西，即使这段关系失败了。”
埃里卡·克拉赖克是加州伯克利的数学和科学作家。她的作品出现在2010年和2011年的《科学》系列中最好的数学写作。
