米就像它的创造者一样，卡尔·威尔斯特拉斯的怪物从天而至。在大学四年的饮酒和击剑生涯之后，威尔斯特拉斯空手而去。他最终学习了一门教学课程，并在19世纪50年代的大部分时间里在布朗斯伯格担任教师。他讨厌普鲁士小镇的生活，觉得那是一种孤独的生活。他唯一的休息是课间做数学题。但是数学上没有人可以倾诉，也没有技术图书馆可以学习。甚至他的研究结果也未能逃脱布朗斯伯格的限制。维尔斯特拉斯没有像大学研究员那样在学术期刊上发表这些论文，而是把它们添加到学校章程的文章中，用晦涩难懂的方程式让潜在的学生感到困惑。
最后，威尔斯特拉斯向这位受人尊敬的学者提交了一篇论文Crelle的杂志．虽然他之前的文章几乎没有引起什么反响，但这篇文章却引起了人们的兴趣。威尔斯特拉斯找到了一种新的方法来处理一类叫做阿贝尔函数的复杂方程。这篇论文只包含了他的方法的概要，但这足以让数学家们相信，他们在与一个独特的天才打交道。不到一年，Königsberg大学授予威尔斯特拉斯名誉博士学位，不久柏林大学又任命他为教授。尽管经历了从赤贫到暴富的智力历程，他的许多旧习惯依然存在。他很少发表论文，而是喜欢与学生分享他的研究成果。他不关心的不仅仅是出版过程:他也不怕把数学的神圣之物作为目标。
威尔斯特拉斯很快就把目标对准了这个世纪最杰出的数学家奥古斯丁-路易·柯西的研究。柯西的大部分工作集中在微积分和变化率(或“导数”)上。他创造了一本本质上是微积分词典的东西，列出了这门学科最重要的概念。但当威尔斯特拉斯读到它的定义时，他发现它们冗长而模糊。挥手太多，细节不够。
如果牛顿知道这些函数，他就不会创造微积分。
他决定修改柯西的字典，用逻辑条件代替散文。这些早期工作的主要内容是对衍生品的重新定义。为了计算曲线在某一点上的梯度，也就是它的变化率，艾萨克·牛顿最初考虑的是一条通过曲线上兴趣点和附近点的直线。然后他将附近的点移得越来越近，直到直线的斜率等于曲线的斜率。但是很难用数学来定义这个概念。是什么决定了两点是否“接近”彼此?
在柯西冗长的定义中，梯度将“以一种方式无限接近一个固定值，从而以与它相差无几的方式结束”。威尔斯特拉斯认为这还不够清楚。他想要一个更实用的定义，所以决定把这个概念转化成一个公式。数学家们将能够重新排列方程，而不是操纵抽象的概念。这样做，他就为他的怪物打下了基础。
一个当时，数学家们从大自然中获得了许多灵感。当牛顿第一次发展微积分时，他受到了物理世界的启发:行星的轨道，钟摆的摆动，落下的水果的运动。这种想法导致了对数学结构的几何直觉。它们应该和物理对象一样有意义。因此，许多数学家集中研究“连续”函数。从概念上讲，这些功能不需要从纸上拿起笔就可以画出来。画出苹果下落的速度随时间的变化，它将是一条实线;不会有间隙或突然的跳跃。连续函数被认为是自然的函数。
传统观点认为，对于任何连续曲线，除了有限数量的点外，都有可能找到梯度。这似乎符合直觉:一行可能有一些锯齿，但总有一些部分是“平滑的”。法国物理学家和数学家André-Marie Ampère甚至发表了一份证明。他的论点建立在一个“直观的明显的”事实上，即连续的曲线必须有增加、减少或保持平坦的部分。这意味着必须能够计算出这些区域的梯度。Ampère并没有考虑到当这些部分变得无穷小时会发生什么，但他声称他不需要考虑。他的方法很普遍，避免了去考虑那些infiniment小大多数数学家对他的推理很满意:到19世纪中叶，几乎每一本微积分教科书都引用Ampère的证明。
但在19世纪60年代，关于一种奇怪生物的谣言开始流传，这是一种与Ampère定理相矛盾的数学函数。在德国，伟大的伯恩哈德·黎曼告诉他的学生，他知道一个连续函数，它没有平滑的截面，因此不可能计算函数在任何一点的导数。黎曼没有发表证明，日内瓦大学的查尔斯Cellérier也没有，尽管他写道他发现了一些“非常重要而且我认为是新的”的东西，但他把研究成果塞进了一个文件夹，直到他去世几十年后才公开。然而，如果这些说法是可信的，那就意味着对微积分基础的威胁正在形成。这种生物威胁着数学理论和它所依据的物理观察之间的良好关系。微积分一直是行星和恒星的语言，但如果存在与这门学科的中心思想相矛盾的数学函数，自然又怎能成为可靠的灵感来源呢?
1872年，当卡尔·威尔斯特拉斯(Karl weerstrass)宣布他发现了一个连续但在任何一点上都不光滑的函数时，这个怪物终于诞生了。他通过将无穷长的余弦函数序列加在一起来构建它:
作为一个功能，它是丑陋和尴尬。甚至不清楚它在图表上是什么样子的。但这对威尔斯特拉斯来说并不重要。他的证明是由方程而不是形状组成的，这就是他的声明如此强大的原因。他不仅创造了一个怪物，他还用具体的逻辑创造了它。他给出了新的，严格的导数定义，并证明了这个新函数是不可能计算出导数的。
T他的结果使数学界一片震惊。法国数学家Émile Picard指出，如果牛顿知道这些函数，他就不会创造微积分。而不是利用关于自然物理的想法，他会被困在试图爬过严格的数学障碍。这个怪物也开始践踏之前的研究。已经被“证实”的结果开始失效。Ampère用柯西偏爱的模糊定义来证明他的平滑定理。现在，他的论点开始站不住脚。过去的模糊观念对怪物是没有希望的。更糟的是，什么是数学证明已经不清楚了。在过去的两个世纪里，直观的、以几何为基础的论点似乎没有什么用处。 If mathematics tried to wave the monster away, it would stand firm. With one bizarre equation, Weierstrass had demonstrated that physical intuition was not a reliable foundation on which to build mathematical theories.
老牌数学家们试图将这个结果置之脑后，认为它既尴尬又不必要。他们担心学究和捣乱分子正在劫持他们所钟爱的主题。在索邦大学，查尔斯·埃尔米特(Charles Hermite)写道:“我对这种无衍生函数的可悲祸害感到恐惧和恐惧。”Henri Poincaré-who是第一个把这种功能称为怪物的人，他谴责weerstrass的工作是“对常识的愤怒”。他声称这些功能是一种傲慢的干扰，对这个主题没有什么用处。他说:“它们被发明出来是为了表明我们祖先的推理是错误的，我们永远不会从它们那里得到更多的东西。”
许多保守分子想把威尔斯特拉斯的怪物留在数学的荒野中。没有人能想象出他们正在处理的动物的形状，这一点也没有帮助——只有电脑的出现才使绘图成为可能。它的隐藏形式使得数学学界很难理解这样一个函数是如何存在的。威尔斯特拉斯的证明方式对许多数学家来说也是陌生的。他的论证包含了几十个逻辑步骤，长达几页。想法的轨迹是微妙的，技术要求很高，没有现实生活中的类似物来指引方向。我的本能是要避开它。
但怪物有从寒冷中找到出路的习惯。事实上，许多现在看来显而易见、甚至必不可少的概念，曾经都是怪物。几个世纪以来，数学家们一直回避负数。主要研究几何学的古希腊人认为没有必要。采纳希腊思想的中世纪学者也没有。这个怪物的影子今天仍然会偶尔出现，比如当一个孩子问为什么两个负数相乘会得到一个正数。但总的来说，这头野兽已经被驯服了;没有人会想再次驱逐它。
同样地，威尔斯特拉斯的怪物也开始得到认可。1904年，阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein)向物理学家们介绍了“布朗运动”的概念:他说，液体中的粒子沿着随机路径运动，因为流体分子不断地撞击它们。碰撞是如此频繁(超过10次)21无论显微镜有多好，观察有多详细，轨迹都不会是平滑的。在实际层面上，不可能找到导数。如果研究人员想要解决这类问题，他们需要直面威尔斯特拉斯的怪物——而爱因斯坦正是这样做的。他的布朗运动理论使用了无限锯齿状的函数。它开创了一个长期以来的先例:从那时起，物理学家就一直用非光滑函数来代替布朗运动。
当人们意识到所谓的“威尔斯特拉斯函数”实际上非常有用时，研究人员开始研究如何优雅地处理非平滑函数。他们不是试图分析单个粒子在液体中的路径，而是观察许多粒子的平均行为。他们可能会走多远?它们什么时候会到达一个给定的点?除了布朗运动，数学家们也开始重新思考微积分的基本工具。变化率总是用距离和几何测量曲线下的面积来定义的。但当功能不顺利时，这些想法就没有意义了。
东京大学(University of Tokyo)的Kiyoshi Itō从概率的角度找到了解决这个问题的方法。这是一种非正统的、更不用说有风险的策略:在20世纪40年代，几乎没有人认为概率论是一门严谨的学科。然而它ō坚持。他将函数视为随机过程，并将威尔斯特拉斯的定义翻译成一种新的、基于概率的语言。他说，如果预期结果是一样的，那么两个随机过程就“接近”在一起。他介绍了一种处理数学函数的方法，该方法依赖于一个非光滑的量，如布朗运动，而不是一个更传统的变量，如距离。利用他的新方法，他推导出Itō的引理来计算这样一个函数是如何随时间变化的。
到了20世纪70年代，Itō的工作已经发展到一个全新的数学领域，称为随机微积分(数学家喜欢把随机的东西称为“随机的”)。它带来了一整套新的工具和定理，就像微积分一样。今天，随机微积分被用来研究各种现象，从大脑中的神经元放电到人群中的疾病传播。它也是金融数学的核心，帮助银行估计期权价格。它可以解释股票价格的波动行为，从而揭示期权的价值是如何随时间变化的。由此得出的公式被称为布莱克-斯科尔斯公式(Black-Scholes formula)，目前在世界各地的交易大厅中使用。然而，当Itō赢得银行家的喝彩时，他总是感到困惑。作为一名纯粹的数学家，他并没有想到自己的研究成果会因其应用而闻名。
100万美元的奖金至今无人认领。在很多方面，这是一种赎金。
威尔斯特拉斯的怪物也震动了几何学。19世纪末，瑞典数学家海尔格·冯·科赫对非光滑函数的概念产生了兴趣，但他想知道它们的形状。他开始构建一个无处是光滑的形状(而不是函数)，因此表明同样的怪物潜伏在代数和几何中。他也许画不出威尔斯特拉斯函数，但他能画出它的表亲。作为一名初级教授，冯·科赫一边从事着一份又一份临时工作，一边解决着这个问题，1904年，他发现了自己的创造物。它由一个等边三角形构成，然后在每边加上三个较小的三角形，然后无限地继续这样做，它是一个连续的但没有导数的几何形状。这种形状独特的外观意味着它很快就被称为“科赫雪花”。
科赫成功地将威尔斯特拉斯的怪物扩展到方程式和函数之外。但他的研究结果还有其他值得注意的地方。仔细观察后发现，他的雪花有一种奇怪的自相似性:放大雪花的某一部分，它看起来会与缩小后的形状相似。多年以后，威尔斯特拉斯函数显然也具有同样的性质。
随着时间的推移，这种自相似性开始在各种地方出现。直到上世纪80年代Benoît Mandelbrot的开创性工作普及了“分形”物体的概念，这种物体的形状在越来越小的长度尺度上重复。从海岸线、云层到植物和血管，数学家们发现分形在自然界中无处不在。就像科赫的雪花一样，没有一片是光滑的。怎么可能呢?如果形状有平滑的截面，图案会在充分放大后消失。正如科赫所发现的，获得非光滑形状的最简单方法是构造分形物体。也许魏斯特拉斯的工作将不可避免地引导数学家走向自相似的模式，将研究人员引入一个错综复杂、美丽结构的世界。
WEierstrass的怪物至今仍在继续工作。纳维-斯托克斯方程描述了流体的运动，是现代流体动力学和空气动力学的基础，从飞机设计到天气预报，都是由它驱动的。然而，尽管它们在19世纪40年代首次出现，数学家们仍然不知道它们是否总能被解出来。2000年，克莱数学研究所提供了100万美元的奖金给任何能够证明方程总是有平滑解的人，或者找到一个相反的例子的人。这个问题被认为是数学中六个最重要的突出问题之一，因为尽管Navier-Stokes方程被广泛使用，但数学家们并不知道这些方程是否总能产生物理上合理的结果。100万美元的奖金至今无人认领。在很多方面，它是一种赎金，鼓励数学家去寻找麻烦的怪物。
从流体力学到金融学，像威尔斯特拉斯函数这样的生物挑战了我们关于数学和自然世界之间关系的想法。维尔斯特拉斯时代的数学家们曾经认为，最有用的数学是受自然启发的，而维尔斯特拉斯的工作不符合这个定义。但随机微积分和曼德尔布罗特的分形证明了它们是错误的。事实证明，在现实世界——混乱复杂的现实世界——怪物无处不在。正如曼德尔布罗特所说:“大自然开了数学家的玩笑。”就连威尔斯特拉斯自己也上当了。他创造了这个函数来论证数学不应该仅仅基于物理观察。他的追随者认为，牛顿受到了现实生活直觉的约束，一旦摆脱了这些限制，就会有大量优美的新理论被发现。他们认为数学将不再需要自然。然而，威尔斯特拉斯的怪物揭示了相反的事实。 The relationship between nature and mathematics runs deeper than anyone ever imagined.
Adam Kucharski是伦敦卫生与热带医学院的数学流行病学研究员。
本文最初发表于2014年春季鹦鹉螺的季度。
