T说托马斯·罗伯特·马尔萨斯不受欢迎是客气的说法。与他同时代的19世纪诗人珀西·雪莱(Percy Shelley)称他为太监和暴君。哲学家威廉·戈德温(William Godwin)称他为“一个黑暗而可怕的天才，随时可以摧毁全人类所有的希望。”正如马尔萨斯的传记作者后来所言，马尔萨斯是那个时代最受虐待的人。那是拿破仑·波拿巴的时代。
这种诽谤的催化剂是1798年的那本书人口原理论文集．马尔萨斯现年32岁，一头卷发，是英国一个小教堂的副牧师。他在书中抨击了戈德温等乌托邦思想家的主张。戈德温认为，理性和科学进步最终会创造一个完美的社会，没有不平等和痛苦。马尔萨斯持更为悲观的观点。他利用本杰明·富兰克林汇编的美国人口普查数据预测，“性别的激情”将很快导致人口超过资源，导致贫困和困难。如果不加以控制，人口将继续成倍增长，每25年翻一番。然而，农业产量最多只能以每年相似的数量线性增长。100年后，英国将有16倍的人口(1.12亿)需要养活，但食物却不足一半。
当然，这并没有发生。到1900年，英国人口只增长了5倍，达到3500万，其中大多数人都吃得很好。但马尔萨斯也预见到了这种增长放缓的可能性。他说，为了防止人口激增和减少——即臭名昭著的“马尔萨斯灾难”——自然采取了两种措施。“预防性”检查降低了出生率:当经济困难，食物匮乏时，男人——尤其是贫穷的男人——会预见到未来的麻烦，推迟结婚和组建家庭。“阳性”检查——饥荒、疾病、谋杀、战争——增加了死亡率。然而，一旦粮食生产赶上需求，冲突就会减少，家庭就会增加。因此，“需要、痛苦和对痛苦的恐惧的折磨法则”使得人口规模与供给同步振荡。马尔萨斯利用这一理论来反对英国的《济贫法》，该法律根据贫困家庭所生孩子的数量来提供福利，这让批评者感到厌恶。他认为，既然自然会反过来践踏穷人，为什么还要鼓励他们生育呢?
然而，马尔萨斯忽略了一个重要的警告。如果自然迫使我们量入为出，马尔萨斯则大大低估了我们扩大这些手段的能力。1834年他去世时，欧洲正在进行一场农业革命。农民们学会了饲养更丰满、生长更快的牲畜，种植固氮作物，以恢复贫瘠的土壤。工业革命带来了以煤为动力的犁和脱粒机。在20世纪中期，绿色革命给全世界的种植者带来了高产的种子和合成肥料。1900年至2000年间，与马尔萨斯悲观的预测相反，全球人口翻了两番，从16亿增至61亿。与此同时，粮食产量翻了五倍，从4亿吨增加到19亿吨。
除了地区饥荒，人类迄今为止成功地避免了马尔萨斯的命运。地球目前养活着73亿人口，根据联合国的数据，到2050年这一数字将上升到97亿，到本世纪末将达到112亿。如果这个星球的占有率达到最大，它仍然是难以捉摸的。马尔萨斯没有看到的是，极限既取决于自然法则，也取决于我们自己的机智。
数学最著名的证明如何几近破产
1993年6月，安德鲁·威尔斯在英国剑桥的一个数学会议上发表了一系列题为“模形式、椭圆曲线和伽罗瓦表示法”的演讲。他的论点很长，而且很专业。最后，第三次谈话进行了20分钟，……阅读更多
W尽管批评人士对马尔萨斯赤裸裸的悲观主义和残酷的社会政治不屑一顾，但他的思想却经久长存。古典经济学家用它们来捍卫自由市场资本主义。达尔文(Charles Darwin)和华莱士(Alfred Russell Wallace)都引用了马尔萨斯的书作为自然选择进化论的灵感。马尔萨斯的书强调了生存不可避免的斗争。但马尔萨斯最大的影响是在人口研究方面。他的“自然制约”理论开启了现代人口统计学领域的大门，并由此开启了对人类最大增长的探索，即人类的承载能力。
1838年，比利时数学家皮埃尔·维尔胡斯特(Pierre Verhulst)将马尔萨斯的理论用数学术语加以扩展。马尔萨斯用一个简单的公式来计算不受限制的增长:人口的规模，N，乘以人均增长率，r(人均出生减去死亡)。按照这个模式，人口会一直增长，越来越快，直到永远。但马尔萨斯曾表示，日益减少的资源最终将抑制其增长。为了解释这种行为，Verhulst添加了另一个因素作为刹车，使增长率等于
在这个模型中，Verhulst称之为logistic函数，K为承载能力。起初，正如马尔萨斯所假设的那样，增长加速。但是,随着N(人口规模)的方法K在达到极限之前，增长会放缓到爬行速度。
维尔胡斯特将他的新功能与比利时的人口趋势相结合，确定这个国家的人口以每年2.6%的速度增长，最终将达到660万人。但他对这一预测持谨慎态度。尽管这条曲线很好地遵循了历史数据，但它所依赖的关于人口长期特性的假设可能并不正确。所以两年后，他把原来的函数推到一边，进行了另一次尝试，得出了以下修正后的人口增长率描述:
与logistic函数一样，调整后的模型也符合过去的趋势，但随着人口接近其极限，它导致了更缓慢的增长放缓。这使得比利时的运载能力达到940万辆。然而，这两个估计结果都不是真的。(目前的数字是1100万。)维尔胡斯特从来没有提出一个他有信心的可靠的数学理论。就连他以前的老师和学术对手阿道夫·奎特莱也批评他的研究未能为人类行为提供一个精确的定律。在维尔胡斯特于1849年去世后，逻辑推理功能在70多年的时间里一直默默无闻。
对人口增长的担忧在第一次世界大战中再次浮现。“人口压力一直是战争的主要原因，”生物学家雷蒙德·珀尔在他1925年出版的书中说人口增长生物学．在冲突期间，作为美国食品管理局的首席统计员，珀尔必须为军队提供充足的食品供应，亲眼目睹马尔萨斯预测的经济困境。战后，他与统计学家洛厄尔·里德(Lowell Reed)共同开发了一种“对数曲线”来调查人口的变化。
尽管研究人员当时并不知道，但他们偶然发现了Verhulst早已被遗忘的逻辑推理功能。当他们将这条曲线与1790年至1910年的美国人口数据进行拟合时，他们发现这条曲线非常吻合。然而，他们对承载能力的估计并不比Verhulst好多少。他们说，美国的人口上限将是2亿左右，而1968年美国人口已经超过了这个上限。(现在是3.19亿人。)珀尔后来估计，世界人口上限是20亿，到1930年这个数字就被超越了。
人类不只是从一套固定的资源中提取，还可以通过发明创造新的资源。
在接下来的几十年里，人们看到了一个又一个承载能力的估计。1995年，纽约洛克菲勒大学(Rockefeller University)的数学家乔尔•科恩(Joel Cohen)对迄今已发表的数十个全球预测进行了统计，发现它们的差异很大，从不足10亿到超过1万亿不等。像珀尔一样，大多数早期估计当时的世界人口远低于60亿。
科恩认为，它们的缺陷在于假设资源约束以及承载能力是固定的。在数学术语,K是不变的:它从未改变。科恩说，这种假设忽视了人类的创新。他在杂志中写道:“让我们认识到，用美国总统乔治·h·w·布什的话来说，‘每个人都代表着工作的双手，而不仅仅是多了一张要养活的嘴’。科学．“还有人清理田野里的石头，修建灌溉运河，发现矿藏和抗生素，发明蒸汽机;它们还砍伐原始森林，促进表层土壤的侵蚀，制造氟氯化碳和钚。更多的人可能会增加储蓄或稀释和耗尽资本;它们可能增加或减少人类的承载能力。”
这是早期人口模型中缺失的元素:人类不仅可以从一套固定的资源中提取，还可以通过发明创造新的资源。
我1960年，伊利诺斯大学的海因茨·冯·福斯特和他的同事是第一批解释人类聪明才智的人口学家。他们调整了logistic函数，使承载力随人口规模的变化而变化，从而得到以下增长率公式:
常数d代表着人类对其资源库的影响。根据历史模式，研究人员得出结论d等于1.01，意味着池在扩大。随着人口的增长，人口维持自身的能力也在增长，避免了马尔萨斯式的衰退。这是一种量化创新力量的方法，以前的模型都没有做到这一点。
然而，未来并不是乌托邦式的。求解人口规模的增长率方程N，研究人员得出结论t，N正比于
随着时间的流逝t越来越接近2026.87年，人口会越来越多。在这一点上，分数的底部会缩小到零，导致人口规模变得无限大，或者用数学家的话说，“爆炸”。基于这一分析，研究小组预测世界末日将在公元2026年到来
确切的日期是11月的13号星期五，有点开玩笑的意味。但福斯特关于资源是人口规模的函数的观察表明，创新可以以难以预测的方式改变增长模式。
技术不仅影响人类能够开采的资源数量;这也使得共享这些资源变得极其重要。以空间问题为例。珀尔在20世纪20年代的计算表明，美国的每一平方英里最终将不得不容纳大约4000人——他说，这个密度“显然是荒谬的”。然而，由于高层建筑和室内管道等创新，许多城市已经超过了这个数字。世界上最拥挤的地方，包括孟买和首尔，现在每平方英里容纳超过4万人。但他们仍然依靠省级土地取水、种植粮食和发电。在城市和农村之间稳定的货物流动可以增加两者的承载能力。另一方面，如果其中一方无法获得其所需的资源，则双方都可能受害。
各国也相互依存:它们与其他国家进行贸易，共享海洋、生物多样性和气候等全球资源。要理解一个特定国家将如何发展，需要考察其境外发生的事情。例如，2013年，意大利帕多瓦大学(University of Padua)的萨米尔·苏威斯(Samir Suweis)领导的研究人员通过分析52个国家的水贸易网络，模拟了它们的承载能力。其中一些国家，包括澳大利亚、巴西和美国，是“水资源丰富的国家”，这意味着他们可以生产自己的水和依赖水的食物。其他国家，包括墨西哥和大部分欧洲国家，都是“缺水”国家:他们依赖进口。
研究人员考虑了两种可能的情况。首先，他们认为，当水资源丰富的人口接近极限时，他们会停止出口，而是囤积水资源。根据该小组的计算，在这种情况下，依赖水的人口将在2030年左右达到顶峰。然而，如果各国共同努力，在供应减少时继续贸易，整个网络可能会维持到2060年。
也许马尔萨斯迟来一个多世纪的悲观预言最终会成为现实。但也许不是。也许我们能找到一种经济的海水淡化方法。也许我们会想出如何在垂直农场种植我们所有的食物。也许我们会开始殖民其他星球。然而，下一代人口统计学家要想提出一个新的、更高的上限，我们需要做的不仅仅是创造:我们需要合作。
Adam Kucharski是伦敦卫生与热带医学院的数学建模讲师。他的第一本书完美的赌注:科学和数学是如何让运气从赌博中消失的将于2016年春季出版。
