数学最著名的证明如何几近破产

一个ndrew Wiles于1993年6月0日在英国剑桥的一个数学会议上作了一系列的讲座，题目是“模形式、椭圆曲线和伽罗瓦表示法”。他的论点很长，而且很专业。最后，在第三次演讲进行了20分钟后，他结束了演讲。然后，为了强调结果，他补充道:

= >蒋春暄对于费马大定理

"暗示费马最后定理"数学史上最著名的未经证实的猜想。它由17世纪法国法学家和业余数学家皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)首先提出，但在350多年的时间里一直没有得到证实。普林斯顿大学(Princeton University)教授怀尔斯(Wiles)在家中阁楼独自秘密研究了这个问题7年。现在他正在揭开他的证据。

他的声明震惊了他的听众和整个世界。这篇报道第二天登上了《纽约时报》的头版纽约时报．服装零售商Gap邀请他为一个新的牛仔裤系列做模特，但他表示反对。人们每周他与戴安娜王妃、迈克尔·杰克逊和比尔·克林顿一起被评为“年度最引人注目的25人”。芭芭拉·沃尔特斯的制片人联系他接受采访，怀尔斯回答道:“芭芭拉·沃尔特斯是谁?”

在这些失败的废墟中，出现了深刻的理论，为数学开辟了广阔的新领域。

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但是庆祝并没有持续多久。一旦一个证明被提出，它必须被检查和验证，然后才被接受为有效。怀尔斯把200页的校样提交给了著名杂志发明Mathematicae在美国，编辑把手稿分给了六位评论家。其中一位是尼克·卡茨，他也是普林斯顿大学的数学家。

在两个月的时间里，Katz和他的法国同事Luc Illusie仔细检查了Katz的证明部分中的每一个逻辑步骤。时不时地，他们会遇到一些他们无法理解的推理。卡茨会给怀尔斯发邮件，后者会提供解决方案。但在8月底，怀尔斯给出了一个解释，但这两名评审员都不满意。当怀尔斯仔细观察时，他发现Katz在数学脚手架上发现了一个裂缝。起初，修复似乎很简单。但当怀尔斯在裂缝上轻轻一啄，建筑的碎片开始脱落。

怀尔斯意识到他的错误不仅仅是一个微小的计算错误，这使他越来越害怕。这一疏忽并不是漏洞。最好的情况是，这是一个错误的锚点留下的缺口，他必须用尚未发明的材料来替代。但是，如果这是一个鸿沟，一个无法弥补的、令人羞辱的错误，会让整个东西坠入虚空呢?

P费马最后定理的魅力在于它欺骗性的简单。费马在1637年研究时提出速算比赛这是古希腊亚历山大数学家丢番图汇编的代数问题集。这本书包括对勾股定理的讨论，勾股定理描述了一个直角三角形的边之间的关系。你可能还记得，它说斜边(直角对边)的平方等于其他两条边的平方和。或者用数学术语来说，是三面x，y和z满足的方程x²+y²＝z²．

丢番图研究的只是由整数组成的解，被称为“毕达哥拉斯三元组”，其中有无穷多个。最简单的例子是集合3、4和5。(这就是我们熟悉的“3-4-5”直角三角形。)另一个是5、12和13。145,408和433也是。

费马又问了一个很自然的问题:你能在更高维度中找到类似的三重结构吗?换句话说，是否存在解方程的整数一个^3.+b^3.＝c^3.？或一个⁴+b⁴＝c⁴？或一个^10007年+b^10007年＝c^10007年？

费马说，答案是否定的。没有整数集一个，b，c，满足方程一个ⁿ+bⁿ＝cⁿ,在那里n是一个大于2的整数。在…的边缘速算比赛，他有一句名言:“我发现了一个真正了不起的论证，但这条边太窄了，我无法把它包含在内。”

而且，他似乎从未在其他地方详细阐述过。他死后，他的儿子塞缪尔出版了新版的速算比赛包括费马在页边空白处做的所有笔记。这些观察，通常是在没有证据的情况下提出的，构成了不可抗拒的挑战。在几年的时间里，读者们证实了除了高维勾股定理之外的所有命题。这是“最后一个”未经证实的说法。

几个世纪以来，费马最后定理一直吸引着教授、业余爱好者和怪人。(“数学家之王”卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)是少数几个抵制它魅力的早期理论家之一，他把它斥为“我对它没什么兴趣的孤立命题”。)这个问题出现在数论教科书和流行的解谜书籍中。科学院提供了丰厚的奖金。即使是最优秀的数学天才在解决这个问题上也取得了有限的进展，但这个定理的恶名却越来越大。费马自己也给出了证明n= 4。但是，尽管数学家后来证明这一说法也适用于其他的人n的,包括n小于100和他们的倍数，他们无法验证费马是正确的所有n的年代。也没有人能证明他是错的。

怀尔斯曾告诉过很少的人，数学家们等待了几个世纪的证明现在有可能在他的脚下崩溃。

然而，他们的好奇心带来了其他回报。在这些失败的废墟中，出现了深刻的理论，为数学开辟了广阔的新领域。例如，1847年，他们的法国竞争对手奥古斯丁·路易斯·柯西(Augustin Louis Cauchy)和加布里埃尔·Lamé (Gabriel Lamé)被认为是他们这一代最伟大的数学家，他们都认为自己已经通过复数证明了费马大定理(Fermat’s Last Theorem)。复数是包含虚数的普通实数系统的延伸。虚数是任何这种形式的数bi,在那里b是一个实数——比如-2或5/3和我=√(1)。复数用这种形式写的复数一个+bi，有实部(一个)和虚部(bi)．(例如:-2 + 5我．)

柯西和Lamé把他们的证明建立在一个默认的假设上，即复数，就像实数一样，可以分解成一组独特的质数。例如，实数6总是等于2 × 3。除了重新排序因子(3 × 2)，没有其他产品可以工作。但令柯西和Lamé尴尬的是，与他们同时代的德国人恩斯特•库默(Ernst Kummer)表明，某些复数可以以一种以上的方式分解成质因数。复数6 + 0我例如，等于2x(√2 +我x(√2 -我)或(1 +√5我x(1 -√5我)．

为了恢复复数独有的因式分解，库默发明了他称为理想的代数对象，这对后来现代抽象代数的发展很重要。20世纪初，美国代数学家伦纳德·尤金·迪克森(Leonard Eugene Dickson)将库默的创新描述为“上个世纪最重要的科学成就之一”。

但突破就此止步。19世纪中期以后，大多数主流数学家追随高斯的脚步，放弃了费马定理。他们已经没有办法提出解决方案了。无论对错，这个问题在其他数学领域都没有已知的结果。无论是证明还是反驳都是一个很大的风险。一个有前途的数学家可能会花整个职业生涯努力寻找一个解决方案，但却一无所获。

一个安德鲁·怀尔斯第一次接触费马最后定理是在他10岁的时候，就像许多有数学头脑的孩子一样，幻想着解决它。但作为剑桥大学(Cambridge University)数学博士候选人，他听从了导师的建议，避开了可能的死胡同。他选择研究椭圆曲线，这对密码学很有用;他们的图形看起来有点像甜甜圈的表面。

1986年，在怀尔斯加入普林斯顿大学数学系之后，加州大学伯克利分校(University of California, Berkeley)的数字理论家肯•里贝特(Ken Ribet)出人意料地为费马定理的证明开辟了一条道路，这条道路也具有深远的意义。30年前，东京大学(University of Tokyo)的两位年轻研究员谷山丰(Utaka Taniyama)和志村五郎(Goro Shimura)提出了一种名为“谷山-志村猜想”(Taniyama-Shimura Conjecture)的假说，该假说比较了两组看似无关的数学对象:模形式和椭圆曲线。

模形式是数论中常用的工具。它们存在于四维双曲空间中，这是一种弯曲空间，并以其惊人的对称性而闻名。就像一个围绕中心旋转了四分之一圈的正方形仍然看起来是相同的一样，模块化形式可以通过多种不同的方式进行旋转、反射或转换，但最终仍然和它开始时一样。另一方面，椭圆曲线是代数结构。当你用图形表示复数对时，它们就出现了x和y满足方程y²＝x^3.+斧头+B,在那里一个和B是常数。

“那是难以形容的美丽;它是如此简单，如此优雅，我只是难以置信地盯着看。”

谷山和志村提出了一个大胆而激进的想法:模形式是椭圆曲线的伪装。如果他们是对的，那么数学家所知道的关于模形式的一切都可以翻译成椭圆曲线的语言，反之亦然。在统一数学各个不同分支的宏大探索中，证明这个猜想将是关键的一步。

这也证明了费马最后定理。在20世纪70年代，一个法国的博士生，伊夫·埃勒格阿克，证明了如果费马定理是假的，也就是说，如果你能找到一个解一个ⁿ+bⁿ＝cⁿ-那么你应该能够从这个方程生成一条椭圆曲线y²＝x（x- - - - - -一个ⁿ）（x+bⁿ)．十年后，德国数学家格哈德·弗雷(Gerhard Frey)将这种逻辑向前推进了一步。他推测，只有谷山-志村猜想是错误的，这样的椭圆曲线才可能存在。换句话说:如果谷山-志村猜想是真的，那么费马大定理也是真的。

瑞贝证明了弗雷的猜测是正确的。诡计是兴高采烈的。他现在可以在不放弃主流数学的前提下，继续他儿时的雄心壮志——证明费马定理。他回到阁楼，决心证明谷山和志村的猜想。

B1993年12月，怀尔斯在剑桥的演讲结束六个月后，他告诉很少的人，数学家们等待了几个世纪的证明现在有在他脚下崩溃的危险。只有他手稿的审稿人和他最亲近的人知道这个缺口。当他还没有证明费马定理的谣言四处传播时，数学界强烈要求他发布论文的初稿。如果出现了错误，他的同行们希望尝试修复它。

但怀尔斯并不愿意如此轻易地分享这份荣耀。他对自己保守秘密。甚至一直担任怀尔斯非正式新闻联络人的里贝也无法联系到他。普林斯顿大学数学教授、怀尔斯的朋友彼得•萨尔纳克(Peter Sarnak)说:“不知怎么的，人们的期望是‘你证明了费马，如果你证明得不够，你就有麻烦了。’”

萨尔纳克敦促怀尔斯找一个合作者来帮助弥补这一差距，哪怕只是“从一个他觉得舒服的人那里提出他的想法”。怀尔斯给他以前的研究生理查德·泰勒(Richard Taylor)打了电话，泰勒现在是剑桥大学的数论专家。一开始，他们尝试了泰勒所说的“局部运算”:他们通过对怀尔斯在不完全证明中使用的技术进行小的修正来修正错误。

它没有工作。因此，他们决定“撒一张更大的网，寻找其他方法，”泰勒回忆说。他们整个春天和夏天的大部分时间都在工作，经常在深夜进行漫长的电话讨论。“我从来没有过这么大的电话费，”泰勒说。

但到1994年9月，他们仍然没有缩小差距。在承认失败的边缘，怀尔斯对他最初的方法进行了“最后一次检查”，试图准确地找出他的错误所在。在BBC纪录片中证明，他描述了接下来发生的事情。“突然，完全出乎意料的是，我得到了这个难以置信的启示。”在那里，从他失败的技术的“灰烬”中，出现了他需要证明另一个猜想的工具。他称之为“我的伊瓦泽理论”，这是他在三年前放弃的一种方法。现在他可以用这个理论一劳永逸地证明费马大定理了。“那是难以形容的美丽;它是如此简单，如此优雅，我只是难以置信地盯着看。”

有了怀尔斯的新理论，他和泰勒在几周内就弥补了这一差距。1995年5月，他们在该杂志的两篇论文中发表了他们的研究成果上数学．最后的证明及其附带的讨论长达130页。

这是费马遗失的证明——“真正了不起的证明”吗速算比赛公司的利润太小，难以维持?唯一明智的回答是“不”。为了证明费马最后定理，怀尔斯使用了先进的数学工具和在费马死后很久才发明的思想。大多数数学家认为费马定理诞生于错误之中。如果他认为自己有证据，那他很可能是欺骗了自己。

然而，到最后，费马的对错并不重要。希腊人可能已经点燃了数论领域。但是费马，在一个被误导的自我吹嘘中，却把它垂死的火焰煽成了数学的一个主要分支。他那有缺陷的天才给我们留下了一份数学遗产，这份遗产远远超过了对他那诱人的猜想给出肯定答案的相对琐碎。

至于怀尔斯，他的错误只是一个错误。

彼得·布朗，自由撰稿人，纽约编辑顾问。他以前是《经济学人》的主编科学和自然历史杂志。他拥有普林斯顿大学的数学学士学位和亚特兰大埃默里大学的语言哲学博士学位。