年代太神所客留在宇宙中，看看令人惊叹的结构。有奇妙复杂性的物体和过程。我们宇宙中的每一个行动都遵循了以数学语言完美表达的精确性质。这些自然定律表现出微调，带来生活，特别是聪明的生活。这些自然法则究竟是什么，我们如何找到它们？
宇宙如此结构化，有序地，我们将其与最复杂和最精确的对比进行比较。在18世纪和19世纪，宇宙与完美的工作时钟或手表进行了比较。哲学家然后讨论了钟表匠。在20世纪和21世纪，最复杂的对象是计算机。宇宙与一个完美的超级计算机进行比较。研究人员询问这台计算机如何进行编程。
如何解释所有这些结构？为什么法律似乎如此完美的生育，为什么他们以这种确切的数学语言表达？宇宙真的是结构似乎的结构吗？
其中一些问题的一个答案是柏拉米主义（或其堂兄现实主义）。这是对自然定律的信念是客观的，并且一直存在。它们拥有柏拉图领域存在的完全理想形式。这些法律状况良好，他们已经形成了我们周围看到的宇宙。本质上的大自然法律不仅存在，但它们与所有完全形成的数学一起生活。这应该有助于解释为什么法律以数学语言编写。
柏拉力留下了待命的批次。主要问题是柏拉图主义是形而上学，而不是科学。但是，即使我们接受它为真实，仍然存在许多问题。这个柏拉图世界为什么有这些法律，将智能生活带入宇宙，而不是其他法律？这个柏拉图阁楼是如何设置的？为什么我们的物理宇宙遵循这些空灵规则？科学家和数学家如何获得柏拉图的小宝库精确的理想？
多元宇宙是另一个最近变得相当流行的答案。这个理论试图解释为什么我们的宇宙有生命赋予的法则。相信多元宇宙的人认为我们的宇宙只是众多宇宙中的一个。每个宇宙都有自己的一套规则，以及随这些规则而来的可能的结构。推动多元宇宙理论的物理学家认为，每个宇宙的定律都多少有些武断。我们之所以能在我们的宇宙中看到适合生命的结构，是因为我们恰好生活在极少数有这样规律的宇宙中。虽然多元宇宙解释了我们看到的一些结构，但仍有一些问题有待解决。与其问为什么宇宙会有这样的结构，我们可以把问题推回去，问为什么多元宇宙会有这样的结构。另一个问题是，虽然多元宇宙可以回答我们提出的一些问题，如果它存在，谁说它实际上存在?由于大多数人相信我们与可能存在的其他宇宙没有联系，多元宇宙的存在问题本质上是形而上学的。
这几乎是一系列的：科学预测可预测的现象。
对于自然法则的结构，还有另一种更有趣的解释。不要说宇宙是非常有结构的，而是说宇宙大部分是混乱的，大部分是缺乏结构的。我们之所以能看到这样的结构，是因为科学家们像筛子一样，只关注那些有结构且可预测的现象。他们没有考虑到所有的现象;相反，他们选择那些他们可以处理的现象。
有人说科学研究了所有物理现象。这是不正确的。谁将赢得下一届总统选举，进入白宫是一个难以冒险的科学家们冒险给予绝对预测的身体问题。计算机是否将停止给定的输入可以被视为物理问题，但我们从Alan学习了这个问题无法回答的。科学家们归类了不同类型云的一般纹理和高度，但总的来说，没有对云的确切形状感兴趣。虽然形状是身体现象，但科学家甚至不试图研究它。科学并未研究所有物理现象。相反，科学研究可预测物理现象。这几乎是一系列的：科学预测可预测的现象。
科学家们描述了他们决定学习的现象的标准：它被称为对称性。对称性是尽管发生了变化的东西，但它的一些部分保持不变。当你说面部有对称时，你的意思是，如果左侧被反射并用右侧交换，它仍然看起来相同。当物理学家使用单词对称时，他们正在讨论物理现象的集合。一组现象具有对称性，如果在某些变化后它是相同的。最明显的例子是位置的对称性。这意味着如果在两个不同的地方执行相同的实验，则结果应该是相同的。时间对称意味着实验结果不应依赖于实验何时发生。并且，有许多其他类型的对称性。
科学家学习选择的现象必须具有许多不同类型的对称性。当物理学家看到很多现象时，她必须先确定这些现象是否具有对称性。她在不同的地方和不同时间进行实验。如果她达到相同的结果，那么她就研究他们寻找潜在的原因。相比之下，如果她的实验未能对称，她会忽略它们。
虽然像伽利略和牛顿这样的科学家认识到物理现象的对称性，但对称性的力量首次真正被Albert爱因斯坦利用。他假设即使实验者正在接近光速，物理学法则也应该是相同的。凭借这种对称性，他能够撰写特殊相对论的规律。爱因斯坦是第一个了解对称性是物理学的定义特征。无论对称性有什么对称会有自然界。其余的不是科学的一部分。
在爱因斯坦证明了对称性对科学研究的重要性之后不久，埃米·诺特证明了一个强大的定理，在对称性和守恒定律之间建立了联系。这与现代物理学的核心——自然常数有关。同样，如果有对称性，就会有守恒定律和常数。物理学家必须是一个筛子，研究那些对称的现象，让那些不对称的现象从她的指缝中溜走。
我们挑选出那些满足对称性和可预测性要求的现象。
这种对宇宙结构的解释存在一些问题。首先，似乎我们选择的具有自然规律的现象正是产生这些现象的原因所有的现象。粒子物理定律、万有引力定律和量子理论都具有对称性，并由物理学家进行研究。所有的现象似乎都来自于这些理论，甚至那些似乎不对称的现象也是如此。所以，虽然决定谁将成为下一任总统超出了科学范畴，但这种现象将由社会学决定，社会学决定心理学，神经生物学决定，神经生物学依赖于化学，而化学依赖于粒子物理和量子力学。对于科学家来说，确定选举的获胜者是一件复杂的事情，但选举结果是由物理学定律产生的，物理学是科学的一部分。
尽管我们对自然法则结构的解释是错误的，但我们相信它是存在的最佳候选者的解决方案。它是唯一一个不援引任何形而上学原则的解决方案之一，或者存在众多看不见的宇宙。我们不必在宇宙之外看看我们在宇宙中找到的结构的原因。相反，我们看看我们如何看待现象。
在我们继续前进之前，我们应该指出我们的解决方案与多层次解决方案有一个属性。我们假设，在大多数情况下，宇宙是混乱的，它没有那么多的结构。然而，我们仅关注存在的少量结构。同样，相信多个人的人认为，大多数多层缺乏形成智能生活的结构。它只是在一个选择复杂结构的少数宇宙中。我们居住在这种复杂的宇宙中的重点是稀有结构。两种解决方案都是关于混乱整体中的少量结构。
数字系统的层次结构
这个想法是我们只看到结构，因为我们选择了一个现象的子集是新颖的，难以包裹一个人的头。数学中存在类似的情况，更容易理解。我们将专注于一个重要的例子，其中一个人可以非常清楚地看到这个选择过程。首先，我们需要花一点游览几个数字系统及其属性。
考虑实数。在高中的开始时，老师在董事会上绘制实际数字线，并表示这些是所有人都需要的数字。给定两个实数，我们知道如何添加，减去，乘以和划分它们。它们包括一个在科学各方面使用的数字系统。实数也有一个重要的财产：它们是完全订购的。这意味着给出任何两个不同的实数，一个人小于另一个。想想真正的数字线：给出了线上的任何两个不同的点，一个将在另一个方面。这个属性很明显，它几乎没有提到。
虽然实数似乎是一张完整的图片，但故事不会结束那里。已经在16世纪，数学家开始看更复杂的数字系统。他们开始使用“虚构”的数字我它的平方是-1。这与任何平方不为负的实数形成了鲜明的对比。他们把虚数定义为实数和的乘积我．数学家继续定义一个复杂的数字，这是实数和虚数。如果R.1和R.2是真正的数字，然后是r1+ r2我是一个复杂的数字。由于复杂的数字是由两个实数构建的，因此我们通常将所有它们绘制在二维平面中。实数线位于复杂的平面中。这对应于每个实际数字r的事实1，可以被视为复杂的数字r1＋０我（即本身具有零复杂组件）。
我们知道复数的加、减、乘、除。然而，复数有一个特性是不同的。与实数相比，复数不是完全有序的。给定两个复数，比如3 + 7.2我6 - 4我，我们能分辨出哪个多，哪个少吗?没有明显的答案。(事实上，可以对复数进行完全排序，但排序时不考虑复数的乘法。)复数不是完全有序的这一事实意味着，当我们从实数到复数时，我们失去了结构。
复杂数字的故事还没有结束。正如人们可以从实数对中构造出复数一样，人们也可以从复数对中构造出四元数。让c1= r1+ R.2我和C.2= r3.+ R.4我是复数;然后我们可以构造一个四元数q = c1+ c2j在哪里j是一个特殊的数字。事实证明，每个四元数都可以写成
r1+ R.2我+ R.3.j+ R.4k，
在哪里我，j,k所有特殊数字都与复杂数字相似（它们定义为ijk= 1 =我2＝j2＝k2)．所以复数由两个实数组成，四元数则由四个实数组成。每个复数r1+ R.2我可以被视为一种特殊类型的四元数：r1+ R.2我+ 0j+ 0k．我们可以将四季度视为一个四维空间，该空间具有复杂的数字作为其二维子集。我们的人类很难可视化这种更高尺寸的空间。
四元数是一个完整的数字系统。它们可以添加，减去，乘以和拆分。像复杂数字一样，他们没有完全下令。但它们的结构甚至比复杂数字更少。虽然复数的乘法是换向的，即所有复数C1和C.2我们有c1c2= c2c1，这对于所有四边形来说都不是正确的。这意味着有四元数q1问：2这样Q.1问2和q不一样2问1．
而不是以奇怪的较大数字系统为中心和八大数目的真实数字，而是将八大号视为基本的overnions，以及所有其他数字系统，只有octonions的特殊子集。
这种用一个新的特殊数字使一个数字系统加倍的过程被称为“凯莱-迪克森结构”，以数学家亚瑟·凯莱和伦纳德·尤金·迪克森的名字命名。给定某种类型的数字系统，人们得到的另一个数字系统的维数是原系统的两倍。一个人开发的新系统的结构(即公理)比开始的系统少。
如果我们将Cayley-Dickson建筑应用于四元数，我们将获得称为Octonions的数字系统。这是八维数字系统。这意味着每个octonions都可以用八个实数写作
r1+ R.2我+ R.3.j+ R.4k+ r5l+ R.6米+ R.7n+ R.8p．
虽然它有点复杂，但我们知道如何加、减、乘、除八元数。每个四元数都可以写成一种特殊类型的八元数，其中后四个系数为零。
和四元数一样，八元数既不是完全有序的，也不是可交换的。然而，八元数也不能结合。详细地说，到目前为止我们讨论过的所有数系都具有结合律。这意味着对于任意三个元素，a, b, c，它们的两种乘法，a(bc)和(ab)c，是相等的。然而，八元数不能结合。即存在八元数o1阿,2和o.3.这样O.1(o2o3.)≠(o1o2阿)3.．
我们可以继续这种加倍，并获得甚至更大，16维数系称为诱惑。为了描述一个沉舍，人们必须给出16个实数。octonions是一种特殊类型的沉舍：它们的最后八个系数均为零。但研究人员蔑视沉淀，因为他们失去了重要的财产。虽然一个人可以添加，减去和繁殖，但没有办法划分它们。大多数物理学家认为这超出了苍白和“只是”数学。甚至数学家也会难以处理沉淀。可以继续制定三维数字系统和64维数系，等等。但通常没有讨论它们，因为现在，他们没有许多应用程序。我们将专注于辛苦。 A summary of all the number systems can be seen in this Venn diagram:
让我们讨论一下这些数系的适用性。实数应用于物理学的各个方面。物理物体或过程的所有量、测量值和长度都以实数表示。虽然复数是由数学家用来帮助解方程的(我方程x的解是多少2= -1），物理学家开始使用复杂数字来讨论19世纪中叶的波浪。在20世纪，复杂的数字成为对量子力学研究的基础。到目前为止，复杂数字的作用在许多不同的物理分支中非常重要。四季度出现在物理学中，但不是主要的球员。在物理文献中，呼吸值，诱饵和较大的数字系统很少出现。
我们发现的数学定律
这些数字系统的通常视图是认为实数是基本的，而复杂的，四元数和octonions是奇怪的较大套装，使数学家和一些物理学家忙碌。较大的数字系统似乎不重要，更少有趣。
让我们换个角度来看。不要把实数看成中心数，把八元数看成奇怪的更大的数字系统，而把八元数看成基本数，把其他所有的数字系统看成八元数的特殊子集。真正存在的数字系统只有八元数。套用利奥波德·克罗内克的话:“上帝创造了八元数，其他一切都是人类的工作。”八元数包含了我们所需要的每一个数字。(而且，正如我们之前说过的，我们可以用同样的方法来处理sedenions，甚至是64维的数字系统。我们将用八元数来确定我们的想法。
让我们探索我们如何派发我们熟悉的数字系统的所有属性。虽然octonions中的乘法不是关联的，但如果一个人想要联想乘法，则可以看一下octonions的特殊子集。（我们正在使用“子集”这个词，但我们需要一种尊重数字系统操作的特殊类型的子集。这样的子集称为“子组”，“子场，”或“子/常规分割 - 代数”。）因此，如果一个人选择表单的所有octonions的子集
r1+ R.2我+ R.3.j+ R.4k+ 0l+ 0米+ 0n+ 0p，
然后乘法将是结合的(像四元数)。如果我们进一步观察这个形式的所有八元数
r1+ R.2我+ 0j+ 0k+ 0l+ 0米+ 0n+ 0p，
然后乘法将被换向（如复数）。如果进一步选择表单的所有octonions
r1+ 0我+ 0j+ 0k+ 0l+ 0米+ 0n+ 0p，
然后他们就会有一个完全有序的数字系统。人们想要满足的所有公理都“存在于”八元数中。
这并不奇怪。每当我们有一个结构时，我们都可以专注于满足某些属性的特殊元素的子集。例如，任何组。我们可以通过小组的元素并挑选那些X这样，对于所有元素Y我们有XY.＝YX．这个子集是交换(交换)群。也就是说，在任何群中都有一个子集是交换群。我们只是选择那些满足公理的部分，而忽略那些不满足公理的部分(“括号”)。我们的观点是，如果一个系统有一个特定的结构，这个系统的特殊子集将比开始的系统满足更多的公理。
这和我们在物理中做的很相似。我们没有观察所有的现象。相反，我们挑选出那些满足对称性和可预测性要求的现象。在数学中，我们用描述子集的公理来描述它。在物理学中，我们用自然法则来描述选定的现象子集。
我们可以用下面的图表来描述我们所做的类比:
注意，为了满足公理而选择的子集的数学运算比整个集合的数学运算要简单。这是因为数学家是用公理来工作的。他们用公理来证明定理和建立模型。当这些公理缺失时，数学就会变得更加复杂或不可能。
在我们的类比之后，通过数学中所述的自然法则更容易描述现象的子集。相比之下，当我们看看较大的现象时，难以找到自然法则和数学将更加复杂或不可能。
在串联工作和前进
物理学和数学之间有一个重要的相似之处。在这两个领域中，如果我们不关注系统的整体，而是关注系统的特殊子集，我们会看到更多的结构。在物理学中，我们选择某些现象(具有某种对称性的现象)，而忽略其他现象。在数学中，我们只关注结构的某些子集，而忽略其余的。这两项行动是携手合作的。
物理学的工作是从观察到的物理现象收集到数学结构的功能：
观察到的物理现象→数学结构。
也就是说，我们必须向我们观察到的世界提供数学结构。随着物理学的进步，我们试图了解越来越多的物理现象，我们需要更大和更大的数学。就此功能而言，如果我们要扩大函数的输入，我们需要放大函数的输出。
物理学和数学领域的这种拓展有很多例子。
当物理学家开始与量子力学合作时，他们意识到完全有序的实数对他们的需求过于严格。它们需要一个具有较少公理的数字系统。他们找到了复杂的数字。
当Albert Einstein想要描述一般相对论时，他意识到欧几里德空间的数学结构及其公平度的公理（Euclid的第五公理）过度限制。他需要弯曲的非欧几里德空间来描述一般相对性的时刻。
在量子力学中，已知对于某些系统，如果我们第一次测量x然后是，我们将得到不同的结果，而不是首先测量y然后测量x。为了在数学上描述这种情况，需要离开漂亮的世界换向。它们需要较大类的结构，其中没有假设换向。
当玻尔兹曼和吉布斯开始讨论统计力学时，他们意识到他们提出的定律不再是确定性的。实验结果不再发生(p(X) = 1)或不发生(p(X) = 0)。实验某一结果的概率为(p(X))是无限集[0,1]中的一个元素，而不是限制性有限子集{0,1}中的一个元素)。
当科学家开始谈论量子事件的逻辑时，他们意识到通常的逻辑，即分配，过于严格。它们需要制定大类逻辑，其中分配公理不一定保持真实。这现在称为量子逻辑。
保罗上午迪拉克在85年前写下了这一点，当他写下以下内容时：
物理学的稳定进步需要其理论制定，这是一个不断推进的数学。这只是自然的并且可以预期。然而，上个世纪的科学工人预计没有预期的是数学进步的特殊形式，即预计数学会变得越来越复杂，而是将永久的公理和定义，而实际上现代物理发展需要一个不断转移其基础并获得更多抽象的数学。非欧几里德几何和非传染性代数被认为是纯粹的逻辑思想家的思想和逍遥时光的规范，现在已经被发现对物理世界的一般事实描述是非常必要的。似乎，这种增加的抽象过程将继续在未来继续，物理学的进步与数学基础的公理的连续修改和泛化相关联，而不是在固定的任何一个数学方案的逻辑开发基础。1
随着物理学的进步，我们意识到越来越多的物理现象，需要越来越多种类的数学结构，我们通过越来越少的公理来获得它们。狄拉克将这些公理较少的数学结构称为“渐增抽象”和“公理的一般化”。毫无疑问，如果狄拉克活在现在，他会谈论八元数的兴起，甚至在所需的数字系统内的sedenion。
为了描述更多现象，我们将需要更大且较大的数学结构，因此减少和更少的公理结构。这一趋势的逻辑结论是什么？这可以走多远？物理想要在宇宙中描述越来越多的现象。让我们说我们有兴趣描述所有我们宇宙中的现象。我们需要什么类型的数学?数学结构需要多少公理才能描述所有的现象?当然，这很难预测，但不去推测就更难了。一个可能的结论是，如果我们从整体上看整个宇宙，而不考虑任何现象的子集，那么我们所需要的数学根本就没有公理。也就是说，整个宇宙是没有结构的，也不需要公理来描述它。总无法无天!数学只是没有结构的普通集合。这将最终消除所有形而上学时，处理自然规律和数学结构。只有我们看待宇宙的方式给了我们结构的错觉。
有了这个物理观点，我们甚至更加深刻的问题。这些是未来的科学项目。如果我们看到的结构是虚幻的，从我们看一下某些现象的方式，我们为什么看到这种幻觉？除了看科学家制定的自然定律，我们必须看看科学家和他们挑选的方式（现象的亚当派）的方式。关于人类的原因是什么，让我们如此善于筛子？我们应该看看，而不是看宇宙道路我们观察宇宙。
我很感谢Jim Cox，Karen Kletter，Avi Rabinowitz，以及Karl Svozil进行许多有用的对话。
Noson S. Yanofsky拥有纽约城市大学研究生中心的数学博士学位。他是纽约城市大学布鲁克林学院的计算机科学教授。除了撰写研究论文外，他还与人合作撰写过论文计算机科学家的量子计算和撰写原因的外部限制：什么科学，数学和逻辑不能告诉我们。纳森住在布鲁克林和他的妻子和四个孩子。
参考
1. DIRAC，P.A.M.电磁场中的量化奇点。皇家社会的诉讼程序133.60 - 72,(1931)。
更多的阅读
Dray，T.＆Manogue，C.A.octonions的几何形状世界科学出版公司，新加坡(2015)。
埃丁顿，A。。物理科学哲学纽约剑桥大学出版社(1939)。
van Fraassen，B.C.法律和对称牛津大学出版社，纽约，NY（1989）。
格林,B。隐藏的现实：平行宇宙和宇宙的深刻规律Knopf，纽约，纽约（2011）。
轮v.j.n可理解的宇宙:物理定律从何而来?Prometheus Books，Amherst，NY（2006）。
Tegmark，M。我们的数学宇宙:我对现实的终极本质的追求Knopf, New York, NY(2014)。
Yanofsky, n。《理性的外部界限:科学、数学和逻辑无法告诉我们的东西》(The Outer Limits of Reason: What Science, Mathematics, and Logic Cannot Tell Us)麻省理工学院出版社，剑桥，马萨诸塞州(2013)。
铅图像拼贴信用：码头太阳/羽毛房;Pixabay.
本文最初发表于2017年6月的《荒谬》杂志。
