这个人要毁掉数学了

我现在是早上7点，哈维·弗里德曼刚刚给收件人发了一封邮件，邮件的主题是“停止你正在做的事情”。它还提供了一个YouTube链接，链接到1951年俄罗斯著名钢琴家弗拉基米尔·霍洛维茨(Vladimir Horowitz)的一场音乐会的现场直播。弗里德曼写道:“YouTube上有一种模式，那些无价的宝石因为版权问题而被删除，所以我要求(微笑)你停止一切正在做的事情，包括呼吸、吃饭、思考、睡觉等等，在它消失之前听听它。”

他的评论在延伸了几个月的电子邮件链顶部，大致很多消息在上午3点发出时，如中午或下午9点。随意的函数涵盖了广泛的主题，从电子音乐编辑到跨学科的弗里德曼呼叫“Chessmath”。在一点，他建议在家里，他自己是一个三部分“情感音乐会”。电子邮件上的匿名钢琴玩家在阵容上讨论自己的思考。

尽管电子邮件历史上的话题千差万别，弗里德曼还是对所有这些话题提出了同样的问题：它们的基本组成部分是什么？它们受什么样的法律约束？他似乎在寻找正确的词汇——“正确的方式，”他说，“谈论基本思想是什么，把特别的技术细节隐藏起来，并触及事情的实质。”

这并不是说所有这些话题都是平等的。有一样东西最贴近弗里德曼的心:数学的基础，它关注数学本身的一致性、统一性和结构。弗里德曼十几岁时第一次读到伯特兰·罗素的著作，从那时起，这个领域就占据了他的思想数学哲学导论．(如果你觉得这本书不容易读，那你是对的:“鉴于互斥类的任何类,其中没有一个是空的,至少有一个类,正好有一个共同的术语与每个给定类的……”),它会消耗他仍然作为一个68岁的退休数学教授住在郊区的街道上哥伦布,俄亥俄州,睡几个小时,一天两次,以便腾出时间思考。

数学基础也是一个已经陷入危机近一个世纪的领域——这与弗里德曼邮件中随意而轻松的语气形成了鲜明对比。1931年，奥地利数学家和哲学家库尔特Gödel证明，任何足以发展基本算术的逻辑系统都会产生无法在该系统内证明为真或假的命题。一个这样的陈述:系统本身是一致的。换句话说，任何制度都不能证明自己是没有矛盾的。结果似乎对于数学家提出一个不可逾越的问题,不是因为它阻止他们是否知道他们的工作是建立在系统一致的(到目前为止,还没有不一致),而是因为它意味着他们的基本逻辑有很大的局限性。

把集合理论想象成一个包含着能够做未知事情的奇怪生物的腹地。

在19世纪和20世纪，数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)曾大力倡导建立统一形式的数学理论(并被许多人采纳)，但任何希望都破灭了。数学的基础永远不可能像希尔伯特希望的那样安全:Gödel有效地证明了每一个公理系统，无论多么全面，都有不可弥补的漏洞。通过创建一个更强大的系统来填补这些漏洞只会产生无法被证明的新语句——因此需要一个更强大的系统，如此类推，直到无穷。

于是奇怪的事情发生了:数学家们选择了继续前进。他们认为，不完整性与他们自己的工作没有直接关系。通常被称为ZFC (zermelo - frankel公理加上选择公理)的公理，构成了当今最常用的数学基础，为证明定理提供了一个严格的框架。事实上，ZFC是如此的全面，以至于今天的大多数数学家都没有使用它的整个机制。“你可以用一种相当全面的方式来执行希尔伯特的程序，”范德堡大学(Vanderbilt University)的数学家斯蒂芬·辛普森(Stephen Simpson)说，“大约85%的数学知识。”那些证明确实需要比ZFC更有力的东西的陈述，是冗长而深奥的，是对自我引用的句子“我是不可证明的”之类的人为渲染。这在哲学上很有趣，但在做“核心”数学时却被忽略了。

Gödel的不完全性被冷落了，它在集合理论，即对对象集合和不同层次无穷大的形式化研究中找到了自己的家。所有其他数学分支都可以用集合理论的语言来表达——这是任何东西被正式证明的方式——但集合理论本身远远超出了ZFC。你可以把它想象成一个容纳着能做未知事情的奇怪生物的腹地——墙外的土地，如果你是权力的游戏风扇。集合理论家可以使用大基数构造证明，它处理更高层次的无穷大，而且太大了，无法在ZFC中证明存在。他们可以一头扎进悖论中，比如说，证明一个三维球体可以分解成碎片，当这些碎片重新组合在一起时，会形成两个与原始球体完全相同的球体。

随着墙外的数学是强大的和潜在的破坏性，其概念是如此摘要，就像不完整的那样，他们在很大程度上被其他数学界都忽略了。有些人甚至把它们称为“不自然”。大多数数学家永远不会考虑穿过ZFC和其他数学之间的墙壁。

但这正是弗里德曼所做的。更重要的是，他想把他发现的东西带回来，打破隔离区的不完整性。在过去的50年里，10万多个小时，他喜欢说他一直在寻找一种新的理论，这种理论将引入不完全性的“自然”方式，并将大基数卷入有限数学的日常工作中。

现在，他相信自己终于取得了突破。

W弗里德曼记得，在他四五岁刚开始阅读的时候，他指着一本字典问他妈妈那是什么。她解释说，这是用来找出单词的意思的。几天后，他带着他的结论回到了她身边：这本书一文不值。对于他查到的每一个单词，字典都会让他陷入一个循环：从“大”到“大”再到“伟大”等等，直到他最终再次回到“大”这个词。弗里德曼笑着说：“她只是看着我，好像我是一个非常奇怪的孩子。”。

这是弗里德曼的第一刷，基本思想。它将继续在无害的地方播种：在他对词典的介绍后不久，他注意到改变他父母的杂货账单上列出的物品的顺序并不影响他们最终支付的总价格。他还没有了解这个属性的名字，但它袭击了一个和弦。

他的父母并不长时间，他们都在照片排版业务中，从未毕业过大学，以认识到他对数学的能力。弗里德曼说，他的父亲说，最初希望他成为一名工程师 - 但比幸福地鼓励他对数学的萌芽兴趣。有一天，弗里德曼的父亲带着第九级代数教科书回家，他要求从一个住在街上的家庭朋友的儿子那里借钱。继续学习这个，他告诉他自己的儿子。弗里德曼很快吞噬了这些材料。他9岁了。

他的两个兄弟姐妹也很早就表现出了敏锐的定量意识。正如他们的父亲所希望的那样，他的妹妹继续学习工程学，后来在IBM做了一名计算机程序员;他的弟弟，比他小五岁，也学习数理逻辑。

弗里德曼发现自己很快就走上了基本追求的道路。他跳过了两年级，参加了大学为天才学生举办的暑期课程，并吸收了所有他能接触到的东西——最终让他找到了罗素的入门教材。几十年后，弗里德曼仍然记得这本书的最后几句话。罗素写道:“正如上述草率的调查所表明的那样，在这个问题上有无数未解决的问题，还有许多工作需要做。”如果这本小书能引导任何一个学生认真地研究数理逻辑，它就已经达到了写这本书的主要目的了。”

没有系统可以证明自己没有矛盾。

这本书肯定致力于弗里德曼，最终决定他必须解决那些“无数未解决的问题”。16岁时，他总共经过大学，进入马萨诸塞州理工学院的研究生院，他立即找到了数学家Hilary Putnam。以下学期，他拍了一个Putnam的课程，并在他的第三年和最后一年中，他制定了一个各种议程。他将首先致力于数学的基础，他告诉自己，然后，在花几年后，将转向其他学科：力学的基础，统计，法律，音乐。一切的基础。

据《泰晤士报》报道，在18岁获得数学博士学位后，他成为世界上最年轻的教授吉尼斯世界纪录．弗里德曼在2012年退休之前，曾在斯坦福大学(Stanford University)和俄亥俄州立大学(Ohio State)等多所大学教授哲学和数学。他现在和结婚24年的妻子朱迪思·施瓦茨(Judith Schwartz)住在俄亥俄州的哥伦布市，她是一名退休的心理治疗师。今年7月，他将前往费城，宾夕法尼亚大学想象力研究所(University of Pennsylvania’s Imagination Institute)的研究人员将扫描他的大脑，以及其他六名博学多才的大脑。

在弗里德曼非凡的职业生涯中，他从未忘记自己迈向数学基础的第一步，这一步被证明比他想象的更丰富(用他的话说，是更大的“激动”)。

E弗莉·弗利，弗里德曼理解，发现已经存在的陈述中的数学不完整的具体例子将是一个艰巨的任务。有一个连续的假设，巴黎 - 哈灵顿定理，某些类型的决定性 - 但它们很少。所以他出发了自己使用他建造的理论写自己，称为仿真理论。它使用来自数学的自然核心的对象：Rational Numbers，或两个整数的分数。理性数字存在于集理理论宇宙的非常低水平，数学家对他们感到非常舒适。但是，通过仿真理论，弗里德曼在他们身上揭示了一个令人惊叹，隐藏的复杂性 - 以及ZFC之外的土地的道路。

他通过比较坐标为0和1之间有理数的点集伪造了这条路径。如果一组共享特定的模式和对称，则称其“模仿”另一组;如果不能在不破坏其对其他集合的模拟的情况下向其添加新点，那么该集合就是一个“最大模拟”。这个看似正常的数字的相对简单的平台是弗里德曼超越ZFC的数学的发射台。

例如，Friedman已经证明证明关于哪些集合具有最大模拟的定理需要ZFC以外的数学。其中一个这样的定理与一种称为“下落对称”的对称性有关，它关注的是从一个给定点下落一条直线所遇到的点的种类。两个“滴”是对称的，如果这些线遇到的点有相同的模式。

Friedman证明了对于有理立方体中的任何集合（从三个维度到任意数量的维度），在特定的点对之间存在一个具有下降对称性的最大模拟。为了证明这个定理并确定它所适用的点，他必须依赖一个比ZFC更强大的系统。也就是说，在ZFC中，它不能被反驳，也不能被证明。

证明定理是不可辩驳的是一个相当标准的过程(尽管肯定不是简单的):证明它在逻辑上遵循大型基本公理的一致性。另一方面，要证明它是不可证明的就更难了。他用一种矛盾的证明方法做到了这一点可以在ZFC中证明他的定理，然后从它构建一个ZFC持有的对象系统。这意味着，如果他的定理成立，那么ZFC是一致的——并且，传递地说，ZFC已经证明了它自己的一致性。但是根据Gödel的不完全性定理，这是不可能的。因此，这个定理在ZFC中无法证明。他正在努力将该理论扩展到其他类型的对称，“极大值”的其他定义，以及其他类型的物体。

弗里德曼的项目与数学本身的数学哲学一样多。

巴西巴伊亚联邦大学(Federal University of Bahia)的数学家安德烈•博维金(Andrey Bovykin)表示:“他创造了一种先进的精密机械，将组合的物体转化为宇宙。”“从某种意义上说，弗里德曼赋予了原本毫无意义的混沌以意义和存在。”

通过从简单的理性坐标对列表到涉及大型基本假设的东西，弗里德曼从看起来应该安全地位于ZFC范围内的东西，移动到它之外的东西。换句话说，他越过了墙。

“在这些关于集合的简单陈述中，你实际上可以看到一个非常大的集合理论宇宙的结构k由0到1之间的有理数组成的元组真的很惊人，”哈佛大学的哲学家和数学家沃伦·戈德法布说。这是朝着弗里德曼的终极目标迈出的一步。“这有能力改变数学家对他们学科的基本态度，”弗里德曼说。“数学中有绝对的稳定性，有对与错——数学没有真正的概念性哲学问题需要处理……我感兴趣的是彻底打破这种观念。”他希望仿真理论在数学上等同于作曲家伦纳德·伯恩斯坦(Leonard Bernstein)曾经称之为“必然”的贝多芬第五交响曲。他说，希望它能根植于数学学界的意识之中。

从这个意义上说，弗里德曼的项目既是关于数学哲学的，也是关于数学本身的。如果弗里德曼的理论以他所希望的方式展开，数学家们将会与基础问题纠缠在一起，不是因为他们之前对集合理论的一些承诺，而是因为这些问题将会在他们的工作中自然出现。巴黎万神殿-索邦大学(Pantheon-Sorbonne University)的哲学家安德鲁·阿拉纳(Andrew Arana)说:“这里的一个目标是打破旧数学和未来新数学之间的关系。旧数学通常不会遇到独立于集合理论的结果，需要大量的基数。”关于无穷大的更高概念，以及关于它们一致性的陈述，将与不研究无穷大的数学家相关——这可以为他们的工作提供信息。波士顿大学(Boston University)的哲学家朱丽叶·弗洛伊德(Juliet Floyd)将其描述为将哲学带入生活。她说:“这不仅仅是一种观点。”

凭借扩大的基础多样性可能会有新问题的新机会。在1960年文章中“自然科学的数学的不合理效果”，物理学家尤金瓦涅帖回顾一名学生问一个有明显的问题：“我们如何知道，如果我们制作了一个专注于我们忽视的现象的理论，那么我们无视和无视一些人现象现在吩咐我们的注意力，我们无法建立另一个与现在的理论，但仍然在这一情况下解释了当前理论的许多现象。“Wigner继续注意到这个想法是一个有效的一个，或者至少，从来没有任何证据表明这不会发生这种情况。

简单是关键，因为它与基础紧密相连。

仿真理论中也可能存在同样的潜力。尽管到目前为止，对于数学家感兴趣的大部分内容，ZFC已经足够了，但这并不意味着它是他们可以使用的最佳框架。数学中最大的未解决问题（哥德巴赫猜想、黎曼假设、孪生素数猜想等）的解决可能需要ZFC之外的东西，即大基数和与哥德尔式语句等价的东西。“即使是像黎曼假设这样的普通陈述也可以等同于元数学陈述，”阿拉纳说（尽管弗里德曼认为这是不可能的）。

虽然到目前为止，弗里德曼一直在研究有理立方体，但他说，仿真理论可以应用到数学中的几乎所有领域。事实上，他补充说，这本书的隐喻性内容可能对数学以外的话题有兴趣。他说:“这种对称和增长可能会引起人们意想不到的共鸣。”“正如数学的历史表明的那样，人们不会试图强迫这些联系。他们只是在数学上发展这个东西，然后联系才会出现。”

弗里德曼的工作聚集了很多崇拜者。“很多年，我一直是[他]节目的粉丝，”Mathematician Martin Davis说。“我相信，数学家在没有使用这些更高的无限方法的情况下，没有使用这些更高的无限方法的问题，有问题。”然而，弗里德曼认识到他想要的文化变化将很难。“很多数学家都不希望发生这种情况，”弗里德曼说，“因为它朝着核心正确：我们在数学中想要什么行动？什么是合法证明？许多数学家都喜欢数学，特别是因为这些问题永远不会存在。“

我N 2009年，弗里德曼决定向钢琴技术技能毫无以来，决定朝着最基本的零件的底部 - 它的基础，从而脱颖而出，植根于注意，时序和强度的原理。他开始纯粹以电子方式在碎片上工作，使用编辑软件来试验时间变化和注意强度。他的目标：即使在数字键盘上，也要创造完美的钢琴表现的录音，而不需要存在钢琴球员。他为他录制的每分钟进行了数百个编辑，他记录了电脑生成的产品，用嘴巴响起。最终结果，一系列12个“超编辑电子钢琴件”，弥补了他谦虚的YouTube频道的内容的大部分，“完全愚弄了一些主要的钢琴专业人士，”他说。

那年晚些时候，当他回到一架物理钢琴上时，他惊奇地发现，他的演奏有了巨大的进步，这是他从那以后一直着迷的东西，他把这归功于他如何思考自己的编辑过程。他在一封关于即将举行的“情感音乐会”独奏表演的电子邮件中写道：“我对一位钢琴家在微观结构层面上如何唤起（观众）如此强烈的情感非常感兴趣。”。他说，他演奏莫扎特的《伊恩·克莱恩·纳希姆西克》和威尔第的《凯旋进行曲》是为了激发“乐观和喜悦”；拉赫玛尼诺夫的《歌唱》和阿尔比诺尼的《G调慢板》应该反映“悲观和死亡”。他问，他如何演奏这些曲子，以一种“最具表现力”的方式实现这种情绪反应——是什么让这种情况发生的？

他回顾了他的电子编辑项目，以便有线索：毕竟，他不得不找到一种方法来制作与“音乐文化”调整的任何人共生的音乐。“You can stick sheet music into a computer and it’ll be played perfectly,” he says, “but it won’t have any of the cultural trappings someone who listens to music would think of when thinking of the ‘perfect performance.’ It wouldn’t be interesting, or considered valuable. It wouldn’t have anything to do with musical culture.”

同样的简单和文化交叉引发了他在数学基础的工作。仿真理论，他说，“需要拥有当前数学文化的所有陷阱。在表面下，一个令人窒息的有趣，好的，甚至伟大的数学都看起来像是这样的，感觉就像。“贴在一起并不容易，部分原因是所有人都同意这些未展示的美德。似乎有一定的必要成分：是根本，一般和非丙二酸的定义和法律;存在和唯一性证明;关于分类的问题;与物理世界的潜在联系，即使只是隐喻;而且，弗里德曼的最爱，具体感和“简单”。

我t’s this last one that’s kept Friedman at work on various versions of emulation theory for 50 years—nearly three-quarters of his life, and seven times longer than Andrew Wiles spent on his proof of one of the most well-known problems in mathematics, Fermat’s Last Theorem. “He shows it’s a lie,” says Goldfarb, “the myth that mathematicians can’t do anything after 28. Harvey turned 68 this year.” Simplicity is key, Friedman says, because it is tied up with being fundamental. “There’s a lot of important, complicated stuff out there, from relativity theory and quantum mechanics to how a computer gets built,” he adds. “My long-term goal is to make all this simple.”

之前一个名为“布尔关系理论”的模拟理论版本，在他的一份手稿中花了惊人的819页描述发布在他的网站上。它从未在同行评审期刊中发表过。弗里德曼解释说，其内容不是脚踏实地或足够的具体的;这是一个不完美的船只，用于向每一种数学家的家门口提供不完整的船只，以确保不完整的“不可理解地编织成数学培养”。炒作理论，弗里德曼说，终于实现了以前的迭代不能。他承诺今年他会向出版物发送完整的版本。

在此之前，他的工作继续坚定不移。他经常发布到他的网站和listserv的更新，并调用同行讨论他最近的发现。“他是荒野中的独奏声音，”他的一位同事说：“但如果你看任何他的帖子，如果你和他聊天，他的热情就是如此巨大，让你想尝试学习它。”

jordana cepelewicz是一位编辑研究员鹦鹉螺。

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