我想象你是一名救生员，你看到有人在努力保持漂浮。作为一名负责任的救生员，你想要尽快找到他们。你游泳时跑得很快，但在沙滩上跑得更快。那么找到游泳运动员最快的路线是什么?这听起来可能不像，但这个由著名物理学家理查德·费曼提出的难题，实际上是光的行为的一个类比。虽然我第一次读这本书是在10多年前，但它关于光如何传播的教训一直萦绕在我的脑海里。
一开始你可能会考虑一条直线(路径a)是不是最快的路径。这确实是最短的，但不是最快的。你可以跑得更好，因为如果你沿着海滩跑得更远，你在陆地上跑得比在水里跑得更远。因为你在陆地上速度更快，你到达目的地的时间更短。
也许选项B是最快的?在所有的选择中，这条路涉及游泳的次数最少。但这也不对。虽然你现在移动得更快了，但这条路太长，会减慢你的速度。
如你所见，这是有代价的。正如费曼所说，“最小距离的路径里有太多的水;水最少的道路上有太多的土地;最短时间的路径是两者之间的折中。“最快的路线是——一条位于A和B之间的特定路线。
微积分的学生学习解决这类优化问题。但是救生员是怎么做的呢?救生员在脑袋里计算导数和解方程吗?我对此表示怀疑。我敢打赌，他们将训练和纯粹的本能结合起来，就像一个篮球运动员不需要理解抛射运动定律就能做出罚球一样。在某种程度上，我们能够近似地解出相当棘手的数学问题而不需要明确地做任何数学运算。(在现实中更难解决，因为增加了像洋流这样的变量。)
你可能想知道这和光有什么关系。1657年，法国律师和数学家皮埃尔·德·费马费马最后定理)计算出了当光从一个地方传播到另一个地方时，它总是走最短时间的路径。这个奇怪的暗示是，如果救生员需要尽快到达某个地方，她应该问问自己光线会有什么作用。
这里有一种理解方法。假设你拿一个激光笔，把它照进一碗水里。灯光现在和救生员的处境相似。当它在空气中运动时，速度会非常快，但当它在水中时，速度会变慢，因为它不断地与水分子碰撞。你看到光的作用了吗?它会弯曲，就像救生员到达水中时的路径一样。
事实上，有一个叫做斯涅尔定律的公式，它准确地预测了光线弯曲的角度，这取决于它穿过的材料和它撞击表面的角度。这个公式是可行的，但并不是特别具有启发性(可以说)——它给你正确的答案，但没有给你一个理由为什么光线弯曲。
但费马对此有不同的看法。他问，当光传播时，在它可能走的所有不同的路线中，如果它在任何给定的端点选择了可能最快的路线呢?这意味着什么?当他计算出这个猜想的结果时，他发现这个结果符合斯涅尔定律。费马猜想适合完美的与观察到的光的行为有关。对光的特殊行为有一个合理的解释——一种隐藏的方法来解释它的疯狂。
这不仅仅是光线如何弯曲的问题。费马最短时间原理也解释了为什么光从镜子上对称反射，为什么我们眼镜上的镜片有这样的形状，或者为什么碟形天线是抛物线。(你可以从费曼本人那里了解这些简洁的应用程序，在文本或在视频．)
如果费马的想法听起来有点奇怪，你不是一个人。在费马时代，光线方面的一位权威专家克劳德·克莱塞利耶写道，
费马原理不可能是原因，否则我们就会把知识归因于自然:[自然]的行为没有预知，没有选择，但有必要的决定。
费马的想法让所有人感到困扰的是，它似乎需要代理。怎么能光选择一个路径?这怎么可能呢知道哪条路是最快的?它能嗅出其他路径吗?费马当时并不知道，但答案是肯定的。下面是费曼所说的：
最短时间原则是一个完全不同的关于自然运作方式的哲学原则。而不是说这是一个因果关系，当我们做一件事，另一件事发生，等等，它是这样说的:我们设定了情境，光决定哪一个是最短的时间，或极端的时间，并选择那条路径。但是它是做什么的，它是怎么发现的呢?它是否闻到附近的路径，并对它们进行比对?答案是，在某种程度上确实如此。
比如光的奇异量子行为“量子橡皮擦。”这很难与我们对物理如何在人体尺度上工作的直觉理解相吻合。但是实验，以及玻璃和抛物面碟的持续使用，可靠地证实了光线确实能够有效地嗅出并选择最短路径。
R最近，我读到了两个故事，讲的是动物们都能像救生员和灯光一样，用最短的时间从一个地方到达另一个地方。他们怎么知道这么做是一个谜。
第一个生物是一只狗，一只叫埃尔维斯的威尔士柯基犬，它和数学教授蒂姆·彭宁斯住在一起。蒂姆会和埃尔维斯在密歇根湖的岸边玩。他会把猫王最喜欢的网球扔进水里，猫王会飞跑去捡球。
在玩捡东西的时候，蒂姆注意到猫王正在做一件有趣的事情。当他把球扔进水里的时候，埃尔维斯并不只是跳进海浪里，游着全程。埃尔维斯通常不会选择直接的路径，而是沿着海岸跑，然后，在某个时刻，他会突然转向水里，向球游去。
这在蒂姆的脑海里提出了一个问题:如果埃尔维斯走的是时间最少的道路呢?蒂姆是数学教授，他坐下来用微积分算出了这道网球题的最优解。然后他决定验证一下自己的想法。
他花了一天的时间和他的狗在密歇根湖，把网球扔进水里，标记和测量埃尔维斯沿着海岸跑的距离和球跑了多远。在收集了35个这样的数据点(上图中的x和y值，单位为米)后，他绘制了它们。除了这些数据点，他还绘制了最佳轨迹，如下面的直线所示。
的确，埃尔维斯在寻找最佳路径方面做得很好——他总是选择最快的可能路径，而不是最短的!记住，数学模型必须做出许多简化的假设——水中没有水流，埃尔维斯以恒定的速度奔跑和游泳而不感到疲倦，海岸是一条直线，等等。事实上，猫王可能比模型预测的解决方案还要快。
蒂姆对埃尔维斯的写作技巧印象深刻纸名为“狗会微积分吗?”在书中，他向读者保证，“埃尔维斯不懂微积分……事实上，”蒂姆补充道，“即使是简单的多项式，他也很难求导。”更严重的是，虽然埃尔维斯不做计算，但他的行为是大自然经常以不可思议的方式找到最优解决方案的一个例子。”
(顺便说一句，猫王并不是唯一一个对犬类进行优化的人。在另一个纸两位数学家证实，在法国的一个湖边玩接球游戏时，一只名叫萨尔萨的雌性拉布拉多犬也选择了时间最短的路径。也许数学家的狗继承了他们主人的一些能力?)
第二种具有这种神奇能力的生物是世界上最具侵略性的物种之一小火蚁,或Wasmannia auropunctata．蚂蚁通过在行进过程中留下信息素的痕迹来帮助彼此导航，随着时间的推移，这些痕迹从食物来源到巢穴会汇聚成一条直线。这些小家伙是天然的优化器，它们甚至可以在一个漂亮的复杂的迷宫．
但没有人真正研究过当蚂蚁面临救生员困境时会发生什么。当它从一个光滑的表面(速度快的地方)移动到一个非常粘的表面(速度慢的地方)，它是选择直接路径，还是选择时间最短的路径?
所以一组研究开始测试使用玻璃表面和粗糙的绿色毛毡表面，类似于沙子和水。他们发现蚂蚁的轨迹更接近最快的路径而不是直接的路径。就像灯光和救生员一样，这些蚂蚁似乎缩短了时间，而不是距离。
但他们是如何做到的呢?他们肯定没算过吧?研究人员认为，也许是纯粹的运气，一些蚂蚁误入了一条更快的路线，而且效率更高，这些路线会得到加强，直到它们成为主要路线。但没有人真正知道这些蚂蚁是如何解决救生员的困境的。这仍然是个悬而未决的问题。
进化当然是一个优化器，通过增加基因库中的代表性来奖励效率。聪明而有效的策略将获得最大的回报。因此，不同的生物通过不同的方式达到相同的目的，也许我们不应该感到惊讶。所以，下次当你被堵在路上，试图找到回家的最快的路时，也许你应该向蚂蚁、狗甚至光学习一下。
脚注
*费马原理的现代说法是，光选择路径时，路径长度的微小变化不会影响旅行的时间。在大多数情况下，这将减少到最短时间的路径。费曼的讲座有更多这方面的。
对于喜欢计算的读者:佩鲁切特和加乐高在上面的文章中提出了一个聪明的规则，狗狗可以遵循这个规则优化自己的路径，而不需要预先知道整个轨迹。这是一个有趣的阅读。和这是一个派生如何从费马原理得到斯涅尔定律和反射定律。
参考文献
费曼,理查德·菲利普斯。量子力学:关于光和物质的奇怪理论．普林斯顿大学出版社，2006。
潘宁斯，蒂莫西·j狗知道微积分吗?”大学数学杂志34.3(2003): 178 - 182。
Perruchet, Pierre和Jorge Gallego。”狗知道相关比率而不是优化吗?”大学数学学报37(2006): 1。
简·奥特勒等人。”费马最短时间原理预测蚂蚁在衬底边缘的折射。”《公共科学图书馆•综合》8.3 (2013): e59739。
Aatish Bhatia最近获得了物理学博士学位。在普林斯顿大学工作把科学和工程带给更广泛的观众。他是获奖的科学博客的作者经验主义的热情在Twitter上的账号是@aatishb．
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注意:一年前，理查德·费曼在一块黑板上发现了斯蒂芬·霍金发现的著名黑洞。
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这篇经典的事实如此浪漫的文章最初发表于2014年3月。
