G瑞芬多和斯莱特林即将进行年度比赛羽毛球比赛。从每家最好的球员都应该面临关闭球场上一个，第二个最好的球场上两个，等等。
斯莱特林他的教练知道这一点格兰芬多将根据他们的技能将他们的球员放在正确的场地上，因为格兰芬顿是诚实的。这取决于他教他们的错误。毕竟，诚实只是浪费了作弊的机会。
通过战略性地将他的球员按不同的顺序排列，他能增加他的球队有望赢得的比赛数量吗?如果是，斯莱特林队的球员按什么顺序出场最好?
我的一个大学朋友叫霍华德·斯特恩（是的，他的真名，不，不是那霍华德·斯特恩(Howard Stern))在1980年提出了这个难题，当时他还是麻省理工学院的研究生。他研究了一段时间，但没有完全解决。从那以后，他一有机会就问数学家，但从来没有找到一个人知道答案。最后，在2012年，他通过电子邮件把这个问题发给了我。(霍格沃茨的主题在33年前还没有——那是我的修饰。)
我发现最早提到霍华德问题的是a 1983年论文由三位运筹学研究人员撰写名为Arjang Assad、Bruce Golden和James Yee。毫不奇怪，运筹学研究人员首先提出了它：运筹学（简称“OR”）是一门不浪费资源的科学。在这个问题上，资源是斯莱特林羽毛球运动员的技能，而挑战是如何以最大化预期赢得比赛数量的方式分配这些技能。
关于霍华德的问题或作弊教练的问题，我喜欢称之为作弊教练的问题，首先要注意的是，这还不是一个数学问题。你可以称之为原型问题。现实世界的问题通常是这样的；在数学家得到正确答案之前，或者任何答案是，他们首先要弄清楚什么是正确的问题。这通常需要他们做一些假设并定义一些术语。
在他们的论文中，Assad, Golden和Yee假设作弊的教练有关于对方球队的完美的球探信息。因此，对于自己球队的每个球员和对方球队的每个球员，他都知道他的球员获胜的概率。
不幸的是，阿萨德的组织为了自身利益知道的太多了。这类问题的快速求解算法（称为线性分配问题)，适用于计算机，早在1983年就为人所知。因此，从或的角度来看，这个问题变得无趣：你不能发表关于每个人原则上都知道如何解决的问题的论文。在我看来，这就是为什么教练作弊问题自1983年以来一直没有得到解决。
然而，对于数学家来说，解算法和解不是一回事。人类的头脑渴望理解力和洞察力计算机只能在有限的范围内提供。计算机一次只能解决一个案例，但数学就是要找到适合自己的模式所有用例。由于过早地将问题简化为计算机算法，阿萨德的团队错过了发现一些美丽数学的机会。他们没有问对问题。(参见“数学作为神话塞缪尔·阿尔贝斯曼（Samuel Arbesman）对人类完成的优雅数学和机器完成的计算数学进行了不同的比较
霍华德·斯特恩以完全不同的方式看待原始问题。他坚持认为斯莱特林的教练应该知道没有什么关于格兰芬多的球员相对于他自己的实力。他应该只知道信息格兰芬多的教练傻傻给他，由是可预见的诚实：相对于彼此的格兰芬多的球员的真实顺序。霍华德的版本，在我看来，造成非常纯净的问题：什么是格兰芬多的教练的诚实的成本是多少？
其中每队有三名球员的情况下，是一个完美的起点。想想等级玩家从1到6（1为最强），然后随机分配他们到两套房子。有二十方法可以做到这一点，每一个都是同等可能的。例如，有一个一二十的机会，斯莱特林将吸引玩家2，4，6，而格兰芬多平1，3，和5。如果出现这种情况，作弊会做出非常大的差异。如果斯莱特林扮演2-4-6反对1-3-5，三个斯莱特林的球员将失去。在另一方面，如果斯莱特林扮演6-2-4反对1-3-5，那么他们会赢得两场比赛。（6失去1，但2节拍3轮4次5）
在我看来，这个版本提出了一个非常纯粹的问题:格兰芬多教练的诚实要付出什么代价?
通过研究所有20个案例，你可以证明斯莱特林的最佳策略是“扔”一场比赛，把最差的球员放在第一场，最好的放在第二场，最好的放在第三场。如果这样做，它将以平均1.65到1.35的比分获胜。因此，对于格兰芬多来说，诚实的代价是0.3场。我想很多运动员直觉上都知道这一点。我的一位参加高级网球比赛的朋友说，球队通常会赢如果他们能侥幸逃脱，就把他们的球员按3-1-2的顺序排列。
如果有四名球员，斯莱特林的最佳顺序是4-1-2-3（同样，投一场球），按照这个顺序，他们将以平均2.34比1.66获胜。诚实的代价现在已经增长到0.68场。如果格兰芬多队的球员超过四名，情况就更糟了。
对于作弊教练来说，最好的策略会随着球员数量的增加而略有变化。由于每个队有三到六名球员，最好的策略是投一场比赛。但是如果有七名球员，他应该投两个游戏，而不是一个。（最好的顺序是7-6-1-2-3-4-5。）如果有13名球员，他应该投3个。
什么是这里的模式呢？如何投掷游戏的最佳数量取决于玩家的数量？计算机不能回答这样的问题，并且可能永远无法。人类的大脑可以，答案涉及到一些美丽而古老的数学。
解决这个问题的关键就在这个数字三角形中:
三角形无限远远下来，它是由一个简单的规则定义：下面的每一对数字的，你写的总和。例如，10和底部行中的10的下方，则写它们的总和，10 + 10 = 20。
数字的这种安排被称为帕斯卡三角，法国数学家帕斯卡，谁写一本关于它1653年，这个三角形是其实发现得早得多（pdf）由印度、中东、，和中国数学家，因为它有这么多的用途。例如，我怎么知道有20种方法可以从一个6人的团队中选择3名球员？我只是在第六行查找第三个条目（将最上面一行计算为第0行，将每行中的左元素计算为第0个条目；请参见下面的图表进行说明）。
显然，帕斯卡三角形与作弊教练问题有模糊的联系，但我完全没有准备好，因为它提供了简单而深刻的答案。
…比赛前夕，斯莱特林队的教练在夜幕的掩护下，悄悄走进了霍格沃茨数学系。在那里的墙上，有一个神奇的、无限长的卷轴，上面有帕斯卡的每一排三角形。他向下滚动到某一行，抄下一些数字，然后把它们加在一起。然后他脸上带着阴险的微笑离开了房间。
这里是教练做了什么。假设有N个球员每队;for now, let’s use 7. The recipe is then to look up the 2Nth row in Pascal’s triangle (in this case, the 14th row), which starts as follows: 1, 14, 91, 364, 1001, 2002, 3003, 3432, … The center element in the row is 3432. He adds the other numbers left to right until he gets a total greater than 3432: 1 + 14 + 91 + 364 + 1001 + 2002 = 3473 > 3432. He counts how many numbers are in the sum: six. The correct number of games to throw is the number of players (seven) minus the number he just counted (six) plus one: 7 – 6 + 1 = 2.
说实话，我只证明了这是正确的规则，如果玩家人数超过10万人。证明涉及到一些棘手的，但在大多数情况下先前已知的，从概率论的估计。霍华德已经用计算机进行验证时，有60名或更少的球员。当然规则也适用于处于中间范围，从60到10万，但我们可以使用一些帮助，从有人用超级计算机来证实这一点。
解决霍华德的问题让我想起了我忘记的事情。自从我放弃数学，开始写作，已经过去了15年多了。在这段时间里，我很少想念它。我记得的最多的是，我在处理那些不肯让步、不肯透露秘密的问题时所感受到的无穷无尽的挫败感。霍华德的问题不一样。我在这上面花了一百多个小时，却从不感到疲倦，因为它不断地给我提供线索，鼓励我说:“这个想法可能行得通。”这让我想起了数学的乐趣。
我告诉你，数学的目的是见识过，但我想我撒谎了。更重要的是，我做数学题的原因是兴奋和追逐的不确定性。但使用计算机算法没有欢乐，但欢乐解锁精致钟表机制，使一个很好的数学题剔。而且，在最后，你也许会学到一些东西中没有其他人全世界都知道！
哦，顺便说一下，我真的不相信诚实只是浪费了作弊的机会。我说那只是装模作样。诚实的。
达纳·麦肯齐是总部设在加利福尼亚州圣克鲁斯市的自由数学和科学作家。他最近的著作是零字的宇宙:通过方程式讲述的数学故事，由普林斯顿大学出版社出版于2012年。
