在《量子游戏》中，《There 's No Way to Play the Odds》

经许可转载广达电脑杂志的抽象博客。

我在20世纪50年代，四个数学头脑很好的美国陆军士兵用原始的电子计算器来计算计算出玩21点的最佳策略．他们的结果,后来发表在美国统计协会杂志，详细说明玩家在游戏中所遇到的每种情况下所能做出的最佳决策。

然而，这种策略——它将演变成赌徒们所说的“那本书”——并不能保证玩家会赢。21点与纸牌、跳棋或其他游戏一样，都有一个玩家获胜几率的上限，即使他们玩得非常好。

但对于特别奇怪的游戏变种，不可能计算这种最大赢的概率。相反，数学家和计算机科学家正试图确定它是否有可能均衡这些游戏的最大竞争力。以及是否存在对两种非常不同思考物理方式的兼容性的铰链。

这些“非局域”游戏是物理学家约翰·斯图尔特·贝尔(John Stewart Bell)在20世纪60年代构想出来的，目的是理解被称为纠缠的奇异量子现象。虽然量子纠缠是复杂的，但非局域博弈不是。你有两个玩家，每个人都被问了一个简单的问题。如果他们的答案以某种方式协调，他们就赢了。不幸的是，他们不能互相交流，所以彼此必须猜测对方将如何回答。贝尔证明，如果玩家能够共享纠缠的量子粒子对，他们就可以加强他们答案之间的相关性，并以高于预期的速度赢得游戏。

“这些算法是完全神秘的。”

在过去的几年里，研究人员详细阐述了贝尔的设置，正如我在最近的文章中所写的那样。简单量子游戏揭示宇宙的终极复杂性”。2016年的论文通过威廉斯特罗拉A.2018纸通过安德里亚Coladangelo和Jalex斯塔克证明，对于一些非本球游戏，玩家分享的纠缠量子粒子越多，他们可以播放更好。这种关系无限期，这意味着玩家需要无限成对的纠缠颗粒（或纠缠的对，具有无限数量的独立属性）来玩非本球游戏，最好是它们可以播放的最佳游戏。

这些结果的一个结果是，我们不可能计算出某些非本地游戏的最大获胜概率。计算机无法处理无限数量的数据，所以如果完美的算法策略需要无限数量的纠缠粒子，那么计算机就无法计算出这种策略多久能奏效。

“这不是一个通用算法，如果你只是输入游戏描述，就会输出最大的成功概率，”他说亨利袁他是多伦多大学的理论计算机科学家。

但如果我们不能准确地知道最大获胜概率，我们能否至少在几个百分点内计算出来呢?

数学家们一直在努力研究这个问题。奇怪的是，他们的方法依赖于两种截然不同的物理思维方式的兼容性。

回想一下，在一个非本地游戏中，需要防止两个玩家协调他们的答案。有两种方法可以确保这一点。第一种方法是在物理上将玩家彼此隔离——将他们放在各自的房间或宇宙的两端。这种空间隔离保证了它们无法进行通信。研究人员使用所谓的“张量积”模型(指的是称为张量的数学对象)来分析这种情况。

但是另一种方法可以确保球员无法巩固他们的答案。您强加了不同的要求，而不是分开它们：两个玩家测量其纠缠粒子的顺序，并给出他们给出的答案。“如果他们测量的顺序无关紧要，那么他们显然无法沟通，”Yuen说。

在数学中，当做事情的顺序不影响最终的答案时，你可以说，操作交换:一个xb＝bx一个．这种考虑非局域博弈的方式——基于顺序独立而不是空间分离——被称为“通勤算子”模型。

张量产品和通勤操作员模型用于物理学，特别是在研究中的亚杀菌颗粒之间的相互作用的研究中，称为量子场理论。这两种模型是思考物理事件彼此因果关系的意义的不同方式。虽然张量产品型号更直观 - 我们的思想眼睛倾向于在物理分离方面倾向于图像因果独立 - 通勤操作员模型提供了更加连贯的数学框架。这是因为“空间独立性”是一种模糊的想法，而通勤关系可以完全固定下来。

“对于研究量子场论的人来说，这种在空间上分离事物的概念不是一个自然的概念，”Yuen说。“在数学层面上，并不是说你真的可以把两个独立的东西放在宇宙中两个独立的位置。”

这一切都与非本地游戏有关。

计算机科学家可以使用张量产品模型来计算非本球游戏的最大赢得概率的地板。它们使用的算法保证最大赢概率高于特定阈值。同样，研究人员可以使用通勤操作员模型来建立最大赢的概率上的天花板。该算法可以保证它低于一些阈值。

使用这些工具在手中，研究人员希望将这些限制挤压在一起，就像两个活塞一样。They know they can’t make these two limits touch to produce a single exact maximum-win probability—recent work by Slofstra, Coladangelo, and Stark proved that the exact maximum-win probability is incalculable—but the closer they can bring them together, the more precisely they can approximate the maximum-win probability.

事实上，这些算法越长，两种活塞似乎越来越多地汇集，在不可差不多的中间价值周围产生更精细的和更精细的近似，它们永远不会实际到达。然而，目前尚不清楚这段观察到的收敛是否无限期。“这些算法是完全神秘的。这不是逐步，平稳的数字改进。袁说，我们只是不明白他们融合了多快。

这种活塞策略的前提是两个模型是等效的。它假设天花板和地板在中间挤压一个值。如果这两个模型实际上是等价的，那么这两个活塞就真的在朝着任意接近的方向前进了。(言下之意，如果你能证明这两个活塞正朝着任意接近的方向发展，你也就证明了这两个模型是等价的。)

但是，这两个模型也不是代表同一件事的不同方式。它们可能是不同的，不允许的，并且由于这种活塞策略可能导致天花板被推到地板以下的情况。在这种情况下，计算机科学家将失去最佳策略，以估计最大赢概率。不幸的是，没有人知道。

在过去的几年里，最大的进步是以两种证明的形式出现的，这两种证明仅仅证明了这个问题是多么难以解决。

2018年托马斯Vidick和Anand Natarajan证明了在非本地游戏中，接近最大获胜概率的难度至少与解决其他众所周知的难题(如旅行推销员问题)一样大。同样在2018年，袁国强、维迪克、约瑟夫·菲茨西蒙斯和Zhengfeng霁证明了即作为彼此接近的活塞，将它们更靠近的计算资源是指数增长的。

这个故事的另一个转折是，这两个模型是否等价的问题，直接类似于纯数学中一个重要而又困难的开放问题，这个问题被称为Connes嵌入猜想。这让数学家和计算机科学家陷入了一种“一石二蛇”的境地:通过证明张量积和交换算子模型是等价的，他们就可以同时生成一个算法来计算近似的最大获胜概率，同时也建立了Connes嵌入猜想的真理。这一成就将在所有相关领域赢得最高的掌声。

也就是说，所有的问题都深深地纠缠在一起。

凯文·哈特尼特是广达电脑杂志包括数学和计算机科学。他的作品被收录在2013年、2016年和2017年的“最佳数学写作”系列中。从2013年到2016年，他为《大脑互动体》(Brainiac)撰写每周专栏波士顿环球报部分的想法。