如何解决有史以来最困难的逻辑难题

W1957年，他在普林斯顿大学攻读博士学位，师从理论计算机科学的创始人雷蒙德·斯穆利安(Raymond Smullyan)。他偶尔会去纽约。在其中一次拜访中，他遇到了一位“非常迷人的女音乐家”，在他们的第一次约会中，Smullyan，一个不可救药的调情者，进行得非常合乎逻辑——而且偷偷摸摸。

“你能帮我个忙吗?”他问她。“我要发表一项声明。如果这是真的，你能给我签名吗?”

她心满意足地跟着玩，回答说：“我不明白为什么不行。”

“如果声明是假的，”他接着说，“你就不要给我你的亲笔签名。”

“好吧……”

他的声明是:“你既不能给我签名，也不能给我一个吻。”

这需要一段时间，但斯穆利安的聪明策略最终变得清晰起来。

一份真实的声明让他得到了她的签名，正如他们所同意的那样。但斯穆利安的声明，假设是真的，导致了矛盾：它排除了亲笔签名。这使得斯穆利安的说法是错误的。如果Smullyan的陈述是错误的，那么迷人的女音乐家会给他要么一个签名或一个吻。现在你看到了陷阱:她已经同意不以签名奖励虚假陈述。

有了逻辑，Smullyan把一个错误的陈述变成了一个吻。(并进入了一段美好的罗曼史:两人最终结婚了。)

我斯穆里安喜欢这种合乎逻辑的嬉闹，似乎每个人都因此而喜欢他。他的书是关于休闲数学和逻辑的，题目是这本书的名字是什么?和模仿一只知更鸟它不仅鼓励人们在这些领域寻求职业发展，还改变了数学和逻辑的教学方式。在他近一个世纪的生活中，96岁的斯穆利安成为了一名有成就的钢琴家和魔术师，对现代逻辑做出了根本性的贡献，并写了有关道家哲学和象棋的文章。“他是无可争议的逻辑谜题大师，”他以前的博士生之一布鲁斯·霍洛维茨(Bruce Horowitz)说。

斯姆林恩遗产的一个标志是，哲学家和逻辑学家仍然对他最困难的难题——史上最难的逻辑难题——感兴趣。这个标题是麻省理工学院的一位逻辑哲学家给的，他是斯穆里安的同事乔治·布洛斯，他非常喜欢任何形式的逻辑挑战。他曾经用一个单音节单词来做一个关于Gödel的第二个不完全性定理的讲座，这是“现代逻辑中最重要的结果之一”。

最难的逻辑谜题是这样的:

三个神A、B、C按某种顺序被称为“真”、“假”和“随机”。真总是说真，假总是说假，但兰登说的是真还是假，完全是一个问题随机的事。你的任务是通过问三个是非问题来确定A、B和C的身份;每个问题只能问一个神。神懂英语，但会用他们自己的语言回答所有的问题，其中表示“是”和“不是”的单词是“da”和“ja”，按一定的顺序。你不知道哪个词是哪个意思。

我总是做好迎接挑战的准备，坐在沙发上，手里拿着纸笔，自信地认为我最多可以在两个小时内攻克这个难题。在我看来，我所要做的就是从同时提出三个问题开始，然后计算出它们的后果。例如，我问A B是否为真;问B A是否为真;然后问C他是不是真的。几个小时后，在问过所有我能想到的问题后，我明白了这个谜题的名字是怎么来的。很明显，我的问题并没有迫使神按照我希望的方式来回答。

沮丧之下，我去寻找启迪。山顶的主人原来是布洛斯，他在1996年解开了这个谜题。他是如何做到的，这是我所上过的关于逻辑和真理的最好的一课。如果你想自己尝试一下这个谜题，你可以在这里停止阅读。好运！如果你成功了，我要祝贺你。但如果你没有，回来，你可以和我一起在下面的布洛斯解决方案。

T布洛斯告诉我们的第一件事是，你不应该像我一样，一次构思出所有问题，希望假设-推理策略能奏效。相反，你必须做的第一件事是找出一个问题，找出谁不能是随机的——或者谁能只有不是真的就是假的。这将通过消除过程，帮助你揭示随机的身份。一旦你确定了兰登的身份，揭发另外两个人就很容易了。

布洛斯说，为了更好地理解这种方法，我们需要看看它在三个更简单的谜题中是如何工作的。

第一个简单的谜题实际上是斯mullyan经典的骑士和无赖谜语的重复，在他的书中，这本书的名字是什么?在谜题中，骑士总是说真话，骗子总是撒谎，你的任务就是根据他们所说的，找出谁是谁。

我们的第一个难题是，假设你不记得冥王星是矮行星，你需要问附近的人来弄清楚——但你不知道那个人是骑士还是无赖。要想弄清楚冥王星是否是矮行星，你可以问什么问题?

布洛斯解释说，你想要诱骗骑士或恶棍给你想要的东西。而你用这句话设下了陷阱当且仅当一种叫做“双条件”的逻辑结构。所以在这种情况下，你的问题是:“当且仅当冥王星是矮行星时，你是骑士吗?”

当你插入当且仅当"在两个既为真又为假的命题之间，你得到一个命题为真;但如果你把它插入一个真命题和一个假命题之间，你会得到一个假命题，”布罗斯写道。就像在两个正数或两个负数之间插入一个乘法号一样，插入后得到的数字总是正的当且仅当在两个真或两个假命题之间，有一个命题总是真的。

假设你的问题可能是问一个骑士或一个无赖，有四种可能的回答(假设我们不知道冥王星是谁)事实上一个矮行星):

1.如果这个人是骑士，冥王星是矮行星，那么你就会得到答案“是”，因为两边的陈述都是当且仅当都是真的，骑士们说话都是真的。
2.如果这个人是骑士，而冥王星不是矮行星，你会得到“不”，因为这个问题包含一个错误的陈述。
3.如果那个人是个无赖，而冥王星是一颗矮行星，你就会得到“是”，因为无赖说话总是错误的，而正确的答案是“不是”。
4.如果这个人是个无赖，冥王星又不是矮行星，你就会得到“不”，因为正确的答案是“是”。

看看刚才发生了什么:通过使用双条件句回答问题，你得到了你想要的信息——如果冥王星是矮行星，你得到的回答是“是”，如果不是，你得到的回答是“不是”——不管你是否在和某人说话。然而，请记住，在《史上最困难的逻辑谜题》中，骑士和恶棍(不像这个例子)不讲英语。

为了诱使他们说出“da”和“ja”是“yes”和“no”的意思，还是反之，考虑布洛斯的第二个简单谜题。

在这个谜题中，你知道你在问一个总是说真话的骑士，但他只会回答“嗯”和“嗯”。要想弄清楚冥王星是否是矮行星，你能提出一个是或不是的问题吗?从上一个谜题开始，你会得到这样的答案:问骑士，“当且仅当冥王星是矮行星时，”da的意思是“是”吗?宾果:如果冥王星是矮行星，你会得到“da”的答案;如果不是，你会得到“ja”的答案，尽管我们不知道那是什么意思。结果和上面的一样有利可图:不知道这个人是骑士还是无赖并不是一个障碍，所以不知道“da”和“ja”的意思也不是一个障碍。

布洛斯告诉我们，最困难的逻辑谜题本质上是前两个简单的谜题加上第三个。不过，在我们解决这个问题之前，先来看看前两个谜题是如何结合在一起的:你需要弄清楚冥王星是否是一颗矮行星，你需要问一个可能是骑士也可能是无赖的人和他只会回答"是"或"是"你会问什么问题?如果你认为，因为这是一个复合谜题，正确的问题是一个复合问题，那么你就对了!问:“da”的意思是“是的”，当且仅当你是一名骑士，且当且仅当冥王星是一颗矮行星?”问这个问题，如果冥王星是矮行星，你会得到“da”的答案，如果不是，你会得到“ja”的答案，不管你是在对一个骑士还是一个无赖说话。这个精心设计的问题就像一把锁的钥匙。

每句话不是真就是假——没有中间地带。

这是第三个简单的谜题。规则是这样的。假设我在你面前一排放三张牌——两张a，一张j面朝下。你不知道他们是怎么点的，但我知道。通过问我一个是非问题，同时指着其中一张卡片，你就能确定地认出其中一张是a。如果你碰巧指着两张王牌中的一张，我会像骑士一样诚实地回答你的问题;如果你指向杰克，我会像随机之神一样，随机回答“是”或“不是”。你会指向哪里，你会问什么?

这个可能看起来有点棘手，但实际上不是。指着任意一张牌，问是否有一张是a。假设你指着中间的牌问左边的牌是不是a。”不管中间的牌是不是a布洛斯说，“如果你听到我说‘是’，你肯定会选择左边的牌，如果听到我说‘不是’，你肯定会选择右边的牌。””“为什么?如果中间的牌是a，那么当我说“是”时，左边的牌也是a;如果我说"不"正确的牌是。如果中间的牌是j，它是无关紧要的不管我是随便说"是"还是"不是"二者都左卡和右卡必须是a，因为中间是一个插孔。因此，无论你是否指向一张A，我对你的问题的回答“是”或“否”，都会找到另一张A，只要你想知道的卡不是你指向的那张A。

指着任何一张卡片，并询问另一张卡片的身份，是你需要采用的陷阱策略，以找出谁必须在有史以来最困难的逻辑谜题中要么是对的，要么是错的。作为你的问题的一部分，你将指着任何一张卡片翻译成文字的方法是，将上述复合谜题中“冥王星是一颗矮行星”的事实陈述替换为一个断言谁随机就是，你会注意到，这和指向哪张牌一样是一个武断的决定。在这个问题中，我们说兰登是谁取决于我们决定向谁提出这个问题。没关系;可能是三个神中的任何一个。

让我们向上帝A提出这个问题，并断言B是随机的:“当且仅当B是随机的，你是真时，‘da’是否意味着‘是’?”这相当于在询问a的身份时指着B。在纸牌游戏中，不管我的回答是真实的还是随机的在美国，你可以依靠我的“是”或“不是”回答来确定地找到一张王牌。同样的道理也适用于这里。”不管A是真的，假的，还是随机的，布洛斯说，“如果你得到的答案是‘da’，那么C要么为真，要么为假;如果你得到的答案是‘ja’，那么B要么为真，要么为假!”

让我们假设我们得到了“ja”(我们必须假设其中一个)。这就使得B要么是对的，要么是错的，这正是我们想要的——我们已经知道如何暴露这样的人:问B，“当且仅当冥王星是矮行星时，‘da’意味着‘yes’吗?”既然我们知道冥王星实际上是一颗矮行星，有两种可能的反应:

1.如果B为真，那么答案是da
2.如果B是假的，那么你会得到“ja”，因为正确的答案是“da”，而False总是说假话。

假设我们得到了da，所以B是正确的。现在问“True”你的第三个也是最后一个问题:“当且仅当A是Random时，da是yes吗?”假设随机是A或C，只有一种可能的反应:

1.因为B为真，你得到da，这意味着A是随机的，因此C是假的。

综上所述:运用布洛斯的所有逻辑，我们的三个问题来决定哪个上帝是真、假和随机，是这样的:

1.致上帝A:“当且仅当你为真，当且仅当B为随机时，‘da’是否意味着‘是’?”(我们假设A说的是“ja”，从而判断B是对还是错)。
2.致上帝B:“da”的意思是“是的”，如果且仅当冥王星是一颗矮行星?(我们假设B说“da”，表示B是真的。)
3.再问上帝B(正确):“当且仅当A是随机的时候，‘da’是否意味着‘是’?”既然B为真，他必须说“da”，这意味着A是随机的，留下C为假。

解决了!

年代“最难的逻辑谜”教会了我们什么?根据布洛斯的说法，它向我们展示了一个假定的逻辑基本定律——排除中间定律——看起来是多么重要。布洛斯说:“即使在日常生活中，我们对各种可能性进行推理的能力，如果我们被拒绝使用排除中间派的法则，就会几乎完全瘫痪。”排除中间法则很简单:每句话不是真就是假——没有中间地带。这是一个发人深省的想法。但是，我们必须感谢斯穆利安，这位最邪恶的谜题爱好者，是他让我们怀着如此愉悦的心情来思考这个问题。

布莱恩·加拉格尔是鹦鹉螺。