m就像它的创造者一样，卡尔·威尔斯特拉斯的怪物从天而至。在大学四年的饮酒和击剑生涯之后，威尔斯特拉斯空手而去。他最终学习了一门教学课程，并在19世纪50年代的大部分时间里在布朗斯伯格担任教师。他讨厌普鲁士小镇的生活，觉得那是一种孤独的生活。他唯一的休息是课间做数学题。但是数学上没有人可以倾诉，也没有技术图书馆可以学习。甚至他的研究结果也未能逃脱布朗斯伯格的限制。维尔斯特拉斯没有像大学研究员那样在学术期刊上发表这些论文，而是把它们添加到学校章程的文章中，用晦涩难懂的方程式让潜在的学生感到困惑。
最后，威尔斯特拉斯向这位受人尊敬的学者提交了一篇论文Crelle的杂志。虽然他以前的文章几乎没有涟漪，但这一个创造了大量的兴趣。Weierstrass已经找到了一种新的方式来处理被称为abelian职能的邪恶等级。本文仅包含他的方法轮廓，但足以说服数学家，他们正在处理一个独特的人才。在一年之内，Königsberg大学给了Weierstrass一个荣誉博士，并且很快就在柏林大学之后为他提供了一项教授。尽管已经经历了对财富故事的知识相当于一个抹布，但他的许多旧习惯仍然存在。他很少发布论文，而是宁愿在学生之间分享他的工作。这不仅仅是出版过程，他几乎没有考虑过：他也不害怕瞄准数学的神圣奶牛。
威尔斯特拉斯很快就把目标对准了这个世纪最杰出的数学家奥古斯丁-路易·柯西的研究。柯西的大部分工作集中在微积分和变化率(或“导数”)上。他创造了一本本质上是微积分词典的东西，列出了这门学科最重要的概念。但当威尔斯特拉斯读到它的定义时，他发现它们冗长而模糊。挥手太多，细节不够。
如果牛顿知道这些函数，他就不会创造微积分。
他决定修改柯西的字典，用逻辑条件代替散文。这些早期工作的主要内容是对衍生品的重新定义。为了计算曲线在某一点上的梯度，也就是它的变化率，艾萨克·牛顿最初考虑的是一条通过曲线上兴趣点和附近点的直线。然后他将附近的点移得越来越近，直到直线的斜率等于曲线的斜率。但是很难用数学来定义这个概念。是什么决定了两点是否“接近”彼此?
在Cauchy的详细定义中，梯度将“以固定值无限期地接近，以便通过与一个人的愿望不同。”威尔特斯特拉斯并没有认为这足够清楚。他想要一个更实际的定义，所以决定将概念转换为公式。数学家而不是操纵抽象思想，而是能够重新排列方程。在这样做时，他正在为他的怪物奠定基础。
一种时间，数学家从自然中吸取了他们的灵感。当牛顿首次发达的微积分时，他已经受到物理世界的启发：行星的轨迹，摆动摆动，落下的果实。这思想导致了关于数学结构的几何直觉。他们应该以与物理对象相同的方式进行意义。因此，许多数学家集中在“连续”功能上。概念上，这些是可以在不纸张中绘制的功能。绘制落下的苹果的速度随着时间的推移，它将是一个实线;没有间隙或突然跳跃。持续的功能是，它被认为是自然的。
传统的智慧认为，对于任何连续曲线，可以在所有的渐变中找到梯度，而是有限的点。这似乎匹配了直觉：一条线可能有几个锯齿状位，但总会有几个部分是“平滑”。法国物理学家和MathematicianAndré-MarieAmpère甚至发表了这项索赔的证据。他的论点建立在“直观明显”的事实上，即连续曲线必须具有增加，减少或保持平整的部分。这意味着必须计算这些区域中的梯度。ampère并没有想到当这些部分变得无限小时发生了什么，但他声称他不需要。他的方法足以避免认为事情是“Infiniment Petits.大多数数学家对他的推理很满意:到19世纪中叶，几乎每一本微积分教科书都引用Ampère的证明。
但在19世纪60年代，谣言开始循环奇怪的生物，这是一个矛盾的ampère定理的数学函数。在德国，伟大的Bernhard Riemann告诉他的学生，他知道没有平滑部分的连续功能，并且不可能在任何时候计算该功能的衍生物。Riemann did not publish a proof, and neither did Charles Cellérier at the University of Geneva, who—despite writing that he’d discovered something “very important and I think new”—stuffed the work into a folder that would only become public after his death decades later. Yet if the claims were to be believed, it meant a threat to the very foundations of calculus was forming. This creature threatened to tear apart the happy relationship between mathematical theory and the physical observation on which it was based. Calculus had always been the language of the planets and stars, but how could nature be a reliable inspiration if there were mathematical functions that contradicted the central ideas of the subject?
1872年，当卡尔·威尔斯特拉斯(Karl weerstrass)宣布他发现了一个连续但在任何一点上都不光滑的函数时，这个怪物终于诞生了。他通过将无穷长的余弦函数序列加在一起来构建它:
作为一个功能，它是丑陋和尴尬。甚至不清楚它在图表上是什么样子的。但这对威尔斯特拉斯来说并不重要。他的证明是由方程而不是形状组成的，这就是他的声明如此强大的原因。他不仅创造了一个怪物，他还用具体的逻辑创造了它。他给出了新的，严格的导数定义，并证明了这个新函数是不可能计算出导数的。
T.他的结果使数学界一片震惊。法国数学家Émile Picard指出，如果牛顿知道这些函数，他就不会创造微积分。而不是利用关于自然物理的想法，他会被困在试图爬过严格的数学障碍。这个怪物也开始践踏之前的研究。已经被“证实”的结果开始失效。Ampère用柯西偏爱的模糊定义来证明他的平滑定理。现在，他的论点开始站不住脚。过去的模糊观念对怪物是没有希望的。更糟的是，什么是数学证明已经不清楚了。在过去的两个世纪里，直观的、以几何为基础的论点似乎没有什么用处。 If mathematics tried to wave the monster away, it would stand firm. With one bizarre equation, Weierstrass had demonstrated that physical intuition was not a reliable foundation on which to build mathematical theories.
老牌数学家们试图将这个结果置之脑后，认为它既尴尬又不必要。他们担心学究和捣乱分子正在劫持他们所钟爱的主题。在索邦大学，查尔斯·埃尔米特(Charles Hermite)写道:“我对这种无衍生函数的可悲祸害感到恐惧和恐惧。”Henri Poincaré-who是第一个把这种功能称为怪物的人，他谴责weerstrass的工作是“对常识的愤怒”。他声称这些功能是一种傲慢的干扰，对这个主题没有什么用处。他说:“它们被发明出来是为了表明我们祖先的推理是错误的，我们永远不会从它们那里得到更多的东西。”
许多保守分子想把威尔斯特拉斯的怪物留在数学的荒野中。没有人能想象出他们正在处理的动物的形状，这一点也没有帮助——只有电脑的出现才使绘图成为可能。它的隐藏形式使得数学学界很难理解这样一个函数是如何存在的。威尔斯特拉斯的证明方式对许多数学家来说也是陌生的。他的论证包含了几十个逻辑步骤，长达几页。想法的轨迹是微妙的，技术要求很高，没有现实生活中的类似物来指引方向。我的本能是要避开它。
但怪物有一种从寒冷中找到他们的方式。事实上，现在许多概念似乎是明显的，甚至是必要的，曾经是怪物。几个世纪以来，数学家避开了负数。古希腊人主要用几何处理，看到了他们。中世纪的学术界也没有采用希腊想法。这个怪物的阴影偶尔会出现今天，例如当孩子询问为什么将两个负数一起乘以一个正的一个。但整体野兽被驯服了;没有人会梦想再次进入它。
同样地，威尔斯特拉斯的怪物也开始得到认可。1904年，阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein)向物理学家们介绍了“布朗运动”的概念:他说，液体中的粒子沿着随机路径运动，因为流体分子不断地撞击它们。碰撞是如此频繁(超过10次)21无论显微镜有多好，观察有多详细，轨迹都不会是平滑的。在实际层面上，不可能找到导数。如果研究人员想要解决这类问题，他们需要直面威尔斯特拉斯的怪物——而爱因斯坦正是这样做的。他的布朗运动理论使用了无限锯齿状的函数。它开创了一个长期以来的先例:从那时起，物理学家就一直用非光滑函数来代替布朗运动。
当人们意识到所谓的“威尔斯特拉斯函数”实际上非常有用时，研究人员开始研究如何优雅地处理非平滑函数。他们不是试图分析单个粒子在液体中的路径，而是观察许多粒子的平均行为。他们可能会走多远?它们什么时候会到达一个给定的点?除了布朗运动，数学家们也开始重新思考微积分的基本工具。变化率总是用距离和几何测量曲线下的面积来定义的。但当功能不顺利时，这些想法就没有意义了。
东京大学(University of Tokyo)的Kiyoshi Itō从概率的角度找到了解决这个问题的方法。这是一种非正统的、更不用说有风险的策略:在20世纪40年代，几乎没有人认为概率论是一门严谨的学科。然而它ō坚持。他将函数视为随机过程，并将威尔斯特拉斯的定义翻译成一种新的、基于概率的语言。他说，如果预期结果是一样的，那么两个随机过程就“接近”在一起。他介绍了一种处理数学函数的方法，该方法依赖于一个非光滑的量，如布朗运动，而不是一个更传统的变量，如距离。利用他的新方法，他推导出Itō的引理来计算这样一个函数是如何随时间变化的。
到了20世纪70年代，Itō的工作已经发展到一个全新的数学领域，称为随机微积分(数学家喜欢把随机的东西称为“随机的”)。它带来了一整套新的工具和定理，就像微积分一样。今天，随机微积分被用来研究各种现象，从大脑中的神经元放电到人群中的疾病传播。它也是金融数学的核心，帮助银行估计期权价格。它可以解释股票价格的波动行为，从而揭示期权的价值是如何随时间变化的。由此得出的公式被称为布莱克-斯科尔斯公式(Black-Scholes formula)，目前在世界各地的交易大厅中使用。然而，当Itō赢得银行家的喝彩时，他总是感到困惑。作为一名纯粹的数学家，他并没有想到自己的研究成果会因其应用而闻名。
100万美元的奖金至今无人认领。在许多方面，这是一个赎金。
Weierstrass'怪物也在几何中震撼了东西。在19世纪末，瑞典Mathematician Helge von Koch对非平滑功能的想法感兴趣，但他想看到他们的形状。他开始建立一个完全光滑的形状（而不是一个函数），因此表明，同样的怪物在代数和几何中都潜伏在一起。他可能无法绘制Weierstrass函数，但他将能够以堂兄想象。致力于在跳跃到另一个临时工作的问题，作为初级教授，Von Koch于1904年发现了他的生物。通过拍摄等边三角形建造，然后在每一边添加三个较小的三角形，并继续这样做，它是不可思议的几何形状是连续但没有衍生物。形状的独特外观意味着它很快就被称为“koch雪花”。
科赫成功地将威尔斯特拉斯的怪物扩展到方程式和函数之外。但他的研究结果还有其他值得注意的地方。仔细观察后发现，他的雪花有一种奇怪的自相似性:放大雪花的某一部分，它看起来会与缩小后的形状相似。多年以后，威尔斯特拉斯函数显然也具有同样的性质。
随着时间的推移，这种自相似性开始在各种地方出现。直到上世纪80年代Benoît Mandelbrot的开创性工作普及了“分形”物体的概念，这种物体的形状在越来越小的长度尺度上重复。从海岸线、云层到植物和血管，数学家们发现分形在自然界中无处不在。就像科赫的雪花一样，没有一片是光滑的。怎么可能呢?如果形状有平滑的截面，图案会在充分放大后消失。正如科赫所发现的，获得非光滑形状的最简单方法是构造分形物体。也许魏斯特拉斯的工作将不可避免地引导数学家走向自相似的模式，将研究人员引入一个错综复杂、美丽结构的世界。
W.Eierstrass的怪物至今仍在继续工作。纳维-斯托克斯方程描述了流体的运动，是现代流体动力学和空气动力学的基础，从飞机设计到天气预报，都是由它驱动的。然而，尽管它们在19世纪40年代首次出现，数学家们仍然不知道它们是否总能被解出来。2000年，克莱数学研究所提供了100万美元的奖金给任何能够证明方程总是有平滑解的人，或者找到一个相反的例子的人。这个问题被认为是数学中六个最重要的突出问题之一，因为尽管Navier-Stokes方程被广泛使用，但数学家们并不知道这些方程是否总能产生物理上合理的结果。100万美元的奖金至今无人认领。在很多方面，它是一种赎金，鼓励数学家去寻找麻烦的怪物。
从流体动力学到融资，威尔士职能等生物挑战了我们对数学与自然界之间关系的想法。威尔特的时间遍布威尔特尔特的时间曾经认为最有用的数学是受到自然的启发，而威尔特拉斯的工作并不适合该定义。但随机微积分和Mandelbrot的分形证明它们是错误的。事实证明，在真实世界中 - 凌乱，复杂的真实世界怪物到处都是。“大自然在数学家上发了笑话，”曼德尔特布特·布拉特。即使是韦斯特拉斯本人也会让人占据着伎俩。他创造了他的作用，争论数学不应仅基于物理观察。他的追随者认为，牛顿受到现实生活中的限制，而且，曾经摆脱了这些限制，有巨大，优雅的新理论。他们认为数学不再需要自然。然而，Weierstrass的怪物揭示了相反的真实。 The relationship between nature and mathematics runs deeper than anyone ever imagined.
Adam Kucharski是伦敦卫生与热带医学院的数学流行病学研究员。
本文最初发表于2014年4月的《反馈》杂志。
